-х²+х

Задача: -х^2 + х

Это квадратный многочлен. Разберем его по шагам, чтобы понять структуру и свойства.

1. Факторинг -х^2 + х можно вынести как -х(х - 1). Корни (когда выражение равно нулю): -х(х - 1) = 0 → х = 0 или х = 1.

2. Вершина параболы Парабола имеет вид ax^2 + bx + c с a = -1, b = 1, c = 0.
   Ось симметрии x_vertex = -b/(2a) = -1 / (2·(-1)) = 1/2. Значение в вершине: f(1/2) = -(1/2)^2 + 1/2 = -1/4 + 1/2 = 1/4. Так как a < 0, парабола вершину имеет максимум: максимум равен 1/4 при x = 1/2.

3. Приведение к квадрату ( completing the square ) -х^2 + х = -(х^2 - х) = -[(х - 1/2)^2 - (1/2)^2] = - (х - 1/2)^2 + 1/4.

Это даёт ещё одно представление: -х^2 + х = - (х - 1/2)^2 + 1/4.

4. График и диапазон значений

• Появляются пересечения с осью x в точках x = 0 и x = 1.
• Максимум в вершине: y = 1/4 при x = 1/2.
• Диапазон значений (множество достижимых y): (-∞, 1/4].

5. Примеры значений

• При x = 0: -0^2 + 0 = 0.
• При x = 1: -(1)^2 + 1 = -1 + 1 = 0.
• При x = 2: -4 + 2 = -2.
• При x = 1/2: - (1/2)^2 + 1/2 = 1/4.

Итого: вы можете видеть три эквивалентных представления выражения:

• Факторинг: -х(х - 1)
• Через квадрат: - (х - 1/2)^2 + 1/4
• Как параболу, максимальная высота 1/4 в точке x = 1/2, корни x = 0 и x = 1.