Две плоскости параллельны между собой. Из точки М, не лежащей ни в одной из этих плоскостей, ни между плоскостями, проведены две прямые, пересекающие эти плоскости соответственно…

Решение

Обозначения

• Пусть расстояние между двумя параллельными плоскостями P1 и P2 равно d.
• Расстояние от точки M до плоскости P1 по перпендикуляру (то есть перпендикулярное расстояние) обозначим h.
• Линию, выходящую из M и пересекающую P1 в A1 и P2 в A2, обозначим как L1. Линию, выходящую из M и пересекающую P1 в B1 и P2 в B2, обозначим как L2.
• Обозначим x = A1A2 = MB1 (по условию эти два отрезка равны).

Замечание по формулам Для любой прямой L, пересекающей обе плоскости, длина отрезка между плоскостями зависит от угла наклона к нормали плоскостей. В частности, для L1 имеем равенство A1A2 / MA1 = d / h. Точно так же для L2 B1B2 / MB1 = d / h. Эти отношения получаются из координатного разложения вдоль направления прямой и нормали к плоскостям (или можно увидеть их через подобные треугольники в сечении, образованном линией и нормалью).

Применение условий задачи

• MA1 = 3 см (дано)
• B1B2 = 9 см (дано)
• A1A2 = MB1 = x (по условию)

Из двух равенств выше имеем x / 3 = d / h и 9 / x = d / h. Следовательно, x / 3 = 9 / x. Отсюда x^2 = 27 ⇒ x = 3√3 см.

Теперь найдём требуемые расстояния:

• MA2 = MA1 + A1A2 = 3 + x = 3 + 3√3 см.
• MB2 = MB1 + B1B2 = x + 9 = 3√3 + 9 см.

Ответ

• MA2 = 3 + 3√3 см (примерно 8.196 см)
• MB2 = 9 + 3√3 см (примерно 14.196 см)