Две плоскости параллельны между собой. Из точки М, не лежащей ни в одной из этих плоскостей, ни между плоскостями, проведены две прямые, пересекающие эти плоскости соответственно в точках А1 и А2, В1 и В2. Известно, что МА1 = 3 см, В1B2 = 9 см, А1 А2 = МВ1. Найдите МА2 и MB2.

Решение Обозначения - Пусть расстояние между двумя параллельными плоскостями P1 и P2 равно d. - Расстояние от точки M до плоскости P1 по перпендикуляру (то есть перпендикулярное расстояние) обозначим h. - Линию, выходящую из M и пересекающую P1 в A1 и P2 в A2, обозначим как L1. Линию, выходящую из M и пересекающую P1 в B1 и P2 в B2, обозначим как L2. - Обозначим x = A1A2 = MB1 (по условию эти два отрезка равны). Замечание по формулам Для любой прямой L, пересекающей обе плоскости, длина отрезка между плоскостями зависит от угла наклона к нормали плоскостей. В частности, для L1 имеем равенство A1A2 / MA1 = d / h. Точно так же для L2 B1B2 / MB1 = d / h. Эти отношения получаются из координатного разложения вдоль направления прямой и нормали к плоскостям (или можно увидеть их через подобные треугольники в сечении, образованном линией и нормалью). Применение условий задачи - MA1 = 3 см (дано) - B1B2 = 9 см (дано) - A1A2 = MB1 = x (по условию) Из двух равенств выше имеем x / 3 = d / h и 9 / x = d / h. Следовательно, x / 3 = 9 / x. Отсюда x^2 = 27 ⇒ x = 3√3 см. Теперь найдём требуемые расстояния: - MA2 = MA1 + A1A2 = 3 + x = 3 + 3√3 см. - MB2 = MB1 + B1B2 = x + 9 = 3√3 + 9 см. Ответ - MA2 = 3 + 3√3 см (примерно 8.196 см) - MB2 = 9 + 3√3 см (примерно 14.196 см)