корень из 2x+3 минус корень из x -2 больше 2
Задача: sqrt(2x+3) - sqrt(x-2) > 2.
- Область допустимых значений
- sqrt(2x+3) определён при 2x+3 ≥ 0 → x ≥ -3/2.
- sqrt(x-2) определён при x-2 ≥ 0 → x ≥ 2. Следовательно, область решения: x ≥ 2.
Перепишем неравенство sqrt(2x+3) - sqrt(x-2) > 2 ⇔ sqrt(2x+3) > sqrt(x-2) + 2. Обе стороны неотрицательны на x ≥ 2, поэтому можем возвести в квадрат без риска изменить знак знака неравенства.
Возводим в квадрат слева и справа 2x+3 > (sqrt(x-2) + 2)^2 = (x-2) + 4 sqrt(x-2) + 4 = x + 2 + 4 sqrt(x-2).
Преобразуем: 2x+3 > x+2 + 4 sqrt(x-2) x + 1 > 4 sqrt(x-2).
Левая часть ≥ 0 и правая часть ≥ 0 при x ≥ 2, поэтому снова можно возвести в квадрат: (x+1)^2 > 16 (x-2).
- Разложим и решим квадратное неравенство (x+1)^2 > 16x - 32 x^2 + 2x + 1 > 16x - 32 x^2 - 14x + 33 > 0.
Разложение квадратика: x^2 - 14x + 33 = (x-3)(x-11). Поскольку парабола вверх, неравенство > 0 выполняется при x < 3 или x > 11.
- Учтём область x ≥ 2 Из пересечения получаем:
- 2 ≤ x < 3
- или x > 11
- Проверка граничных точек
- x = 2: sqrt(7) - 0 > 2 → верно.
- x = 3: sqrt(9) - sqrt(1) = 3 - 1 = 2, не подходит (строго больше неравенство).
- x = 11: sqrt(25) - sqrt(9) = 5 - 3 = 2, тоже не подходит.
Итого, решение: x ∈ [2, 3) ∪ (11, ∞).
Примечание: можно решить иначе, введя t = sqrt(x-2). Тогда sqrt(2x+3) = sqrt(2t^2+7) и неравенство превращается в sqrt(2t^2+7) - t > 2, что даёт t ∈ [0,1) ∪ (3, ∞), а затем x = t^2 + 2 gives тот же результат: x ∈ [2,3) ∪ (11, ∞).
