Чтобы шифровать на лету голос человека методом одноразовых блокнотов, нужен ключ, генерируемый со скоростью 5 кбит/с. Пусть лазерные импульсы, следующие с частотой 1 Гц, содержат…
Чтобы шифровать на лету голос человека методом одноразовых блокнотов, нужен ключ, генерируемый со скоростью 5 кбит/с. Пусть лазерные импульсы, следующие с частотой 1 Гц, содержат 0,1 фотон на импульс; потери в канале 0,3 дБ/км; эффективность детекторов – 10%. Найдите максимальное расстояние (в км) квантового распределения ключа по протоколу B84 для шифрования голоса. Пренебрегите темновым счетом детекторов и возможными атаками Евы с разделением числа фотонов.
Разберём задачу по шагам в обычном школьном формате.
Даны:
- Частота импульсов: f = 1 Гц
- Среднее число фотонов на импульс: μ = 0.1
- Эффективность детекторов: η_det = 0.10
- Потери канала: α = 0.3 дБ/км
- Пренебрегаем темновыми счётами и атаками Евы
- Требуемая скорость получения ключа: R_req = 5 кбит/с = 5000 бит/с
- Преобразование потерь в канальную пропускную способность Потери на расстоянии d (км) выражаются линейно через коэффициент затухания:
- Трансмиссия T(d) = 10^{−(α d)/10} = 10^{−0.3 d/10} = 10^{−0.03 d}
Скорость регистрируемых фотонов на приемнике За импульс содержится в среднем μ = 0.1 фотона. За секунду посылается f = 1 импульс. Дальше учитываем эффективность детектора η_det: R_det(d) = f · μ · η_det · T(d) = 1 · 0.1 · 0.10 · 10^{−0.03 d} = 0.01 · 10^{−0.03 d} фотонов в секунду.
Скорость после выбора базисов (BB84) В BB84 базисы выбираются случайно, половина пар базисов совпадают, значит сдвиг клавиш после детекции примерно 1/2. R_sift(d) = (1/2) · R_det(d) = 0.005 · 10^{−0.03 d} бит/с.
Сравнение с требуемой скоростью Максимальная возможная скорость секретного ключа при данных параметрах — при d = 0: R_sift(0) = 0.005 бит/с.
Чтобы удовлетворить условию R_sift(d) ≥ 5000 бит/с, должно выполняться: 0.005 · 10^{−0.03 d} ≥ 5000 10^{−0.03 d} ≥ 1 000 000
Но левая сторона стремится к максимуму 1 (при d = 0) иnever может превзойти 1, так как 10^{−0.03 d} ≤ 1 для всех d ≥ 0. Следовательно, такого расстояния не существует.
Итог:
- Максимальная теоретически достижимая скорость секретного ключа при заданных параметрах равна 0.005 бит/с (при d = 0).
- Желаемая скорость 5000 бит/с недостижима ни на каком конечном расстоянии. То есть «максимальное расстояние» для обеспечения 5 кбит/с по этим параметрам не существует.
Что можно изменить (для получения 5 кбит/с):
- Увеличить повторяемость импульсов f до порядка 10^6–10^7 Гц (1–10 МГц) и сохранить другие параметры.
- Увеличить μ (число фотонов на импульс) до большего значения и/или повысить η_det.
- Уменьшить потери канала (меньше α) за счёт более чистого канала или ближего расстояния.
- Применить другие протоколы QKD или улучшенные варианты BB84 (например, декой-станное состояние, другие схемы), если задача требует значительно более высокого ключевого потока.
Если хотите, могу привести конкретные примеры чисел для достижения R_req при разных комбинациях параметров (например, при d=0, какие f и/или μ нужно выбрать).
