В равнобедренном треугольнике угол между биссектрисой угла при вершине и биссектрисой угла при основании равен 130 ̊. Найдите углы треугольника.

Задача: в равнобедренном треугольнике AB = AC угол между биссектрисами угла при вершине A и угла при основании (то есть между AI и BI) равен 130°. Найдите углы треугольника.

Обозначения:

• Пусть треугольник ABC с AB = AC, вершина A — вершина треугольника, B и C — основания.
• Обозначим α = ∠A, β = ∠B, γ = ∠C.
• Поскольку AB = AC, то β = γ.

Пошаговое решение:

1. Пусть I — точка пересечения биссектрис AI и BI (инцентр треугольника). Угол между двумя биссектрисами AI и BI в точке I равен ∠AIB.

2. В треугольнике AIB углы при A и B равны соответственно α/2 и β/2, потому что AI и BI — биссектрисы соответствующих углов.

3. Тогда угол ∠AIB равен: ∠AIB = 180° − (α/2 + β/2) = 180° − (α + β)/2.

4. Так как α + β + γ = 180° и β = γ, то α + β = 180° − γ. Подставляя получим: ∠AIB = 180° − (180° − γ)/2 = 90° + γ/2.

5. По условию ∠AIB = 130°. Следовательно: 90° + γ/2 = 130° → γ/2 = 40° → γ = 80°.

6. Так как β = γ, имеем β = 80°. Тогда α = 180° − β − γ = 180° − 80° − 80° = 20°.

Ответ:

• ∠A = 20° (вершина),
• ∠B = ∠C = 80° (основание).

Проверка: ∠AIB = 90° + γ/2 = 90° + 40° = 130°, что совпадает с условием.