решить систему: 9x²+4y²=64+12xy 9x²+4y²=16-12xy

Дано система:

1. 9x^2 + 4y^2 = 64 + 12xy
2. 9x^2 + 4y^2 = 16 - 12xy

Пошаговое решение:

1. Найдём xy

• Вычтем второе уравнение из первого: (9x^2+4y^2) - (9x^2+4y^2) = (64+12xy) - (16-12xy).
• Получим 0 = 48 + 24xy, значит 24xy = -48 и xy = -2.

2. Подставим в упрощённое уравнение

• Так как левый член одинаковый в обоих уравнениях, можно приравнять правые части: 64 + 12xy = 16 - 12xy.
• Подставим xy = -2: 64 + 12(-2) = 64 - 24 = 40, значит 9x^2 + 4y^2 = 40.
• Теперь система сводится к xy = -2 и 9x^2 + 4y^2 = 40.

3. Развяжем систему xy = -2 и 9x^2 + 4y^2 = 40

• Выразим y через x: y = -2/x ( x ≠ 0; если x = 0, то xy = 0, противоречит xy = -2).
• Подставим в 9x^2 + 4y^2 = 40: 9x^2 + 4*(4/x^2) = 40 9x^2 + 16/x^2 = 40.
• Умножим на x^2: 9x^4 + 16 = 40x^2.
• Обозначим t = x^2: 9t^2 - 40t + 16 = 0.
• Решаем квадратное уравнение: дискриминант D = (-40)^2 - 4916 = 1600 - 576 = 1024, sqrt(D) = 32. t = (40 ± 32) / (18) → t = 4 или t = 4/9.
• Значит x^2 = 4 или x^2 = 4/9, откуда x = ±2 или x = ±2/3.

4. Находим соответствующие y

• При xy = -2:
  • Если x = 2, y = -2/2 = -1.
  • Если x = -2, y = -2/(-2) = 1.
  • Если x = 2/3, y = -2/(2/3) = -3.
  • Если x = -2/3, y = -2/(-2/3) = 3.

Итак, все решения системы:

• (x, y) = (2, -1)
• (x, y) = (-2, 1)
• (x, y) = (2/3, -3)
• (x, y) = (-2/3, 3)

Проверка на каждом шаге подтверждает соответствие обоим уравнениям.