Решить систему: 9x²+4y²=64+12xy 9x²+4y²=16-12xy

Дано система: 1) 9x^2 + 4y^2 = 64 + 12xy 2) 9x^2 + 4y^2 = 16 - 12xy Пошаговое решение: 1) Найдём xy - Вычтем второе уравнение из первого: (9x^2+4y^2) - (9x^2+4y^2) = (64+12xy) - (16-12xy). - Получим 0 = 48 + 24xy, значит 24xy = -48 и xy = -2. 2) Подставим в упрощённое уравнение - Так как левый член одинаковый в обоих уравнениях, можно приравнять правые части: 64 + 12xy = 16 - 12xy. - Подставим xy = -2: 64 + 12(-2) = 64 - 24 = 40, значит 9x^2 + 4y^2 = 40. - Теперь система сводится к xy = -2 и 9x^2 + 4y^2 = 40. 3) Развяжем систему xy = -2 и 9x^2 + 4y^2 = 40 - Выразим y через x: y = -2/x ( x ≠ 0; если x = 0, то xy = 0, противоречит xy = -2). - Подставим в 9x^2 + 4y^2 = 40: 9x^2 + 4*(4/x^2) = 40 9x^2 + 16/x^2 = 40. - Умножим на x^2: 9x^4 + 16 = 40x^2. - Обозначим t = x^2: 9t^2 - 40t + 16 = 0. - Решаем квадратное уравнение: дискриминант D = (-40)^2 - 4*9*16 = 1600 - 576 = 1024, sqrt(D) = 32. t = (40 ± 32) / (18) → t = 4 или t = 4/9. - Значит x^2 = 4 или x^2 = 4/9, откуда x = ±2 или x = ±2/3. 4) Находим соответствующие y - При xy = -2: - Если x = 2, y = -2/2 = -1. - Если x = -2, y = -2/(-2) = 1. - Если x = 2/3, y = -2/(2/3) = -3. - Если x = -2/3, y = -2/(-2/3) = 3. Итак, все решения системы: - (x, y) = (2, -1) - (x, y) = (-2, 1) - (x, y) = (2/3, -3) - (x, y) = (-2/3, 3) Проверка на каждом шаге подтверждает соответствие обоим уравнениям.