Задача Задача №3545495
А
А
Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды боковое ребро которой равно 20 см и образует с высотой пирамиды угол45°
Решение задачи без указания предмета/класса:
Дано: правильная четырехугольная пирамида (квадратная база). Обозначим:
- сторона основания a,
- высота пирамиды h (расстояние от вершины до плоскости основания),
- боковое ребро l = 20 см. Угол между боковым ребром и высотой равен 45°.
- Связь между высотой, боковым ребром и стороной основания Пусть вершина пирамиды A над центром основания, база в плоскости z = 0, центр основания C = (0,0,0), вершина A = (0,0,h). Боковое ребро идёт от A к одному из вершин основания B = (a/2, a/2, 0). Рассмотрим векторы:
- AB = B − A = (a/2, a/2, −h),
- AC = C − A = (0, 0, −h).
Угол θ между AB и AC удовлетворяет: cos θ = (AB · AC) / (|AB| |AC|) = h^2 / (l · h) = h / l.
Дано θ = 45°, значит cos 45° = √2/2. Следовательно: h / l = √2/2 → h = l · √2/2 = 20 · √2/2 = 10√2 см.
- Связь бокового ребра и стороны основания Длина бокового ребра задаётся по Гюйону: l^2 = (a/2)^2 + (a/2)^2 + h^2 = a^2/2 + h^2.
Подставим известных l и найденное h: 400 = a^2/2 + (10√2)^2 = a^2/2 + 200 → a^2/2 = 200 → a^2 = 400 → a = 20 см.
- Объем пирамиды S основания = a^2 = 400 см^2. Объем V = (1/3) S осн. · h = (1/3) · 400 · (10√2) = 4000√2 / 3 см^3.
Математически: V = 4000√2 / 3 ≈ 1,885.6 см^3.
Ответ: объем правильной квадратной пирамиды равен 4000√2/3 см^3 (≈ 1.89×10^3 см^3).
