На одной из кафедр университета работают 13 человек, причем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык. Десять человек знают английский, семеро  — немецкий, шестеро  — французский, пятеро знают английский и немецкий, четверо  — английский и французский, трое  — немецкий и французский языки. Выясните, сколько человек знают только английский язык.

Задача решается с помощью формулы включения–исключения для трёх множеств: E (английский), G (немецкий), F (французский). Даны: - |E| = 10, |G| = 7, |F| = 6 - |E ∩ G| = 5, |E ∩ F| = 4, |G ∩ F| = 3 - |E ∪ G ∪ F| = 13 (все 13 человек знают как минимум один язык) 1) Найдём тройное пересечение |E ∩ G ∩ F| = t По формуле включения-исключения: |E ∪ G ∪ F| = |E| + |G| + |F| - |E ∩ G| - |E ∩ F| - |G ∩ F| + |E ∩ G ∩ F| 13 = 10 + 7 + 6 - 5 - 4 - 3 + t 13 = 23 - 12 + t 13 = 11 + t → t = 2 Значит 2 человека знают все три языка. 2) Найдём сколько людей знают только английский язык Только английский = |E| - |E ∩ G| - |E ∩ F| + |E ∩ G ∩ F| = 10 - 5 - 4 + 2 = 3 Ответ: 3 человека знают только английский язык. Дополнительная проверка (разбивка по зонам): - Только английский: 3 - Английский и немецкий, без французского: |E∩G| - |E∩G∩F| = 5 - 2 = 3 - Английский и французский, без немецкого: |E∩F| - |E∩G∩F| = 4 - 2 = 2 - Только немецкий: 1 - Только французский: 1 - Немецкий и французский, без английского: 1 - Все три языка: 2 Сумма: 3+3+2+1+1+1+2 = 13, что совпадает.