Натуральные числа a,b,c таковы, что a^2 b+b^2 c+c^2 a=ab^2+bc^2+ca^2 и abc=293930. Чему равна сумма a+b+c?
Задача: натуральные числа a, b, c такие, что a^2 b + b^2 c + c^2 a = a b^2 + b c^2 + c a^2 и abc = 293930. Найти a + b + c.
- Разбираем равенство. Воспользуемся известной тождественностью: a^2 b + b^2 c + c^2 a − (a b^2 + b c^2 + c a^2) = (a − b)(b − c)(c − a).
Доказательство (кратко): разложение правой части даёт точно ту же разность. Поэтому из условия следует (a − b)(b − c)(c − a) = 0.
Значит хотя бы две из чисел a, b, c равны. Пусть две равны, например a = b = x, а третье число — y.
Подстановка a = b = x в произведение: abc = x · x · y = x^2 y = 293930.
Разложим 293930 на простые множители: 293930 = 2 · 5 · 7 · 13 · 17 · 19. У числа x^2 y, чтобы равенство выполнялось, x^2 должно делить 293930. В факторизации у 293930 каждая степень простого равна 1, поэтому никакое простое число не может входить в x в степени хотя бы 2. Единственный вариант — x = 1.
Тогда y = 293930. Следовательно, (a, b, c) — пара из двух единиц и одного большого числа, в нашем случае (1, 1, 293930) (или их перестановки).
Сумма a + b + c: 1 + 1 + 293930 = 293932.
Ответ: 293932.
