формулы прстейших тригонометкических уравнений

Задача говорит о простейших тригонометрических уравнениях. Ниже собраны основные формулы и пошаговые решения, чтобы можно было быстро применять их к типовым задачам.

1. Общие принципы решения простейших тригонометрических уравнений

• Уравнения делятся на три типа по функции:
  • sin(…) = a
  • cos(…) = a
  • tan(…) = a
• В любом случае сначала нужно определить допустимость параметра a:
  • Для sin и cos: |a| ≤ 1. Если |a| > 1, решения нет.
  • Для tan: любое действительное a допустимо.
• Частные случаи могут содержать множители внутри функции, например sin(n x) = a, cos(n x) = a, tan(n x) = a. Тогда вводим новую переменную y = n x и решаем как на уровне sin y, cos y, tan y, затем возвращаемся к x: x = y / n.
• Общие решения:
  • Sin(y) = a:
    • y = α + 2πk или y = π − α + 2πk, где α = arcsin(a) (α ∈ [−π/2, π/2]), k ∈ Z.
  • Cos(y) = a:
    • y = ± arccos(a) + 2πk, где arccos(a) ∈ [0, π], k ∈ Z.
  • Tan(y) = a:
    • y = arctan(a) + πk, где arctan(a) ∈ (−π/2, π/2), k ∈ Z.
• Чтобы получить x из y: x = y / n, если исходное уравнение было sin(n x) = a, cos(n x) = a или tan(n x) = a.

2. Шаги решения простых форм

• Преобразовать уравнение к виду sin(y) = a или cos(y) = a или tan(y) = a, где y выражается через x.
• Найти все решения y на основе стандартных форм выше.
• Разделить полученные y на аргумент (если внутри была кратность n), чтобы получить x.
• Записать общий вид решений с учетом периодов (2π для sin/cos и π для tan, с учетом деления на n).
• При необходимости проверить полученные решения исходя из исходной формулы (особенно если делались преобразования типа возведения в степень или squaring).

3. Примеры решений Пример 1. sin x = 1/2

• Шаг 1: a = 1/2, допустимо.
• Шаг 2: x = α + 360°k или x = 180° − α + 360°k, где α = arcsin(1/2) = 30°.
• Шаг 3: Значит, x = 30° + 360°k или x = 150° + 360°k, k ∈ Z.
• Ответ: x = 30° + 360°k или x = 150° + 360°k, k ∈ Z.

Пример 2. sin(2x) = 1/2

• Шаг 1: y = 2x, sin(y) = 1/2.
• Шаг 2: y = α + 360°k или y = 180° − α + 360°k, α = 30°.
• Шаг 3: 2x = 30° + 360°k или 2x = 150° + 360°k.
• Шаг 4: x = 15° + 180°k или x = 75° + 180°k, k ∈ Z.
• Ответ: x = 15° + 180°k или x = 75° + 180°k, k ∈ Z.

Пример 3. tan x = √3/3

• Шаг 1: a = √3/3. arctan(a) = 30°.
• Шаг 2: x = 30° + 180°k, k ∈ Z.
• Ответ: x = 30° + 180°k, k ∈ Z.

Пример 4. cos(3x) = -1/2

• Шаг 1: y = 3x, cos(y) = -1/2.
• Шаг 2: y = ± arccos(-1/2) + 360°k. arccos(-1/2) = 120°.
• Шаг 3: y = 120° + 360°k или y = -120° + 360°k = 240° + 360°k.
• Шаг 4: 3x = 120° + 360°k или 3x = 240° + 360°k.
• Шаг 5: x = 40° + 120°k или x = 80° + 120°k, k ∈ Z.
• Ответ: x = 40° + 120°k или x = 80° + 120°k, k ∈ Z.

4. Дополнительные заметки

• Проверяйте границы для a в случаях sin(y) = a и cos(y) = a.
• При возведении обеих сторон в квадрат или других сомнительных преобразованиях проверяйте все найденные решения в исходном уравнении, чтобы исключить ложные.
• Если задача записана в радианах, просто заменяйте градусов на радианы (например, 360° = 2π, 180° = π).
• Периодичность решений:
  • для sin и cos: период 2π в y, следовательно в x при y = n x период 2π / n;
  • для tan: период π в y, следовательно в x при y = n x период π / n.

Если хочешь, могу привести решение конкретной задачи из твоего задания или из твоего конспекта — просто скажи вид уравнения (например, sin(3x) = 1/2, или cos(x/2) = √2/2 и т. п.), и я распишу решение пошагово.