Задача решается по знакам произведения.
Дано: (x+7)^9 · (x+8) · (x-4)^6 ≤ 0.
Ключевые моменты:
- Корни/нулевые точки: x = -8, x = -7, x = 4.
- Степени факторов: (x+7)^9 — неотрицательно/непосредственно имеет знак x+7 (переменный по знаку фактор с нечетной степенью); (x+8) — знак x+8; (x-4)^6 — неотрицательно и положительно для x ≠ 4 (четная степень).
Знак произведения для x ≠ 4 определяется как знак трёх факторов:
- знак((x+7)^9) = знак(x+7)
- знак(x+8) = знак(x+8)
- знак((x-4)^6) = положительный для x ≠ 4
Следовательно, для x ≠ 4 знак произведения равен знаку (x+7)(x+8).
Разобьем по интервалам, используя нулевые точки -8 и -7, а также учитывая разрывы/нулевые точки.
Интеграл (-∞, -8):
Возьмем x = -9: (x+7)(x+8) = (-2)(-1) > 0 → P > 0.
Интервал (-8, -7):
Возьмем x = -7.5: (x+7)(x+8) = (-0.5)(0.5) < 0 → P < 0.
Интервал (-7, ∞):
Возьмем x = 0: (x+7)(x+8) = 7·8 > 0 → P > 0.
Единственное особое место x = 4: здесь (x-4)^6 = 0, значит весь произведение равно 0.
Итак, знак произведения отрицателен на (-8, -7), равен нулю на x = -8, -7, 4, и положителен на остальных участках.
Условие ≤ 0 требует отрицательного знака или нуля, следовательно, решение:
-8 ≤ x ≤ -7 или x = 4.
Ответ: x ∈ [-8, -7] ∪ {4}.
