В основании тетраэдра лежит треугольник со сторонами 11 12 13. Параллельно основанию проведена плоскость так, что высота тетраэдра делится ею ровно пополам. Найдите площадь…
В основании тетраэдра лежит треугольник со сторонами 11 12 13. Параллельно основанию проведена плоскость так, что высота тетраэдра делится ею ровно пополам. Найдите площадь сечения тетраэдра этой плоскостью.
Задача относится к геометрии тетраэдра и сечению плоскостью, параллельной основанию.
Решение
Пусть основание тетраэдра — треугольник со сторонами 11, 12, 13. Обозначим высоту тетраэдра h (расстояние от вершины до плоскости основания).
Плоскость, параллельная основанию и пересекающая высоту пополам, находится на высоте h/2 от основания. В сечении, параллельном основанию, все его стороны будут пропорциональны сторонам основания, т.е. образуется треугольник, который является подобием основания. Именно поэтому линейный масштаб сечения относительно основания равен s = 1/2.
Площадь сечения пропорциональна квадрату линейного масшта: площадь сечения = s^2 · площадь основания = (1/2)^2 · площадь основания = 1/4 · площадь основания.
Найдем площадь основания. По формуле Герона для треугольника со сторонами a=11, b=12, c=13: полупериметр s = (11+12+13)/2 = 18. Площадь основания = sqrt[s(s−a)(s−b)(s−c)] = sqrt[18·7·6·5] = sqrt[3780] = 6√105.
Тогда площадь сечения: S_сечения = (1/4) · 6√105 = (3/2)√105 ≈ 15.37.
Ответ: площадь сечения плоскостью, параллельной основанию и делящей высоту пополам, равна (3/2)√105 квадратных единиц (примерно 15.37).
