Выберите все гарантированно верные утверждения. Простых чисел бесконечно много Составных чисел конечное число Если p1 , …, pn — последовательные простые числа, то число…

Гарантированно верные утверждения: 1 и 4.

Разбор по пунктам:

1. Простых чисел бесконечно много — Верно.

• Классическое доказательство Евклида: если предположить, что primes конечны p1,...,pk, возьмём N = p1 p2 ... pk + 1. Ни одно из p1,...,pk не делит N, потому что остаток от деления N на каждый pi равен 1. Значит у N есть primo-делитель, которого нет среди p1,...,pk — противоречие. Поэтому бесконечно много простых чисел.

2. Составных чисел конечное число — Неверно.

• Существует бесконечно много составных чисел (например, все чётные numbers > 2: 2p для бесконечного множества простых p). Следовательно, составных чисел бесконечно много.

3. Если p1, …, pn — последовательные простые числа, то P = p1⋅…⋅pn + 1 простое — Неверно.

• Контрпример: p1,...,pn = 2,3,5,7,11,13 (последовательные primes). Тогда P = 2·3·5·7·11·13 + 1 = 30031 = 59 · 509, то есть композитное.

4. Если p1, …, pn — простые числа, то P = (p1⋅…⋅pn)^2 + 1 не делится ни на одно из p1, …, pn — Верно.

• Поскольку p_i делит произведение p1⋅…⋅pn, имеем P ≡ 0^2 + 1 ≡ 1 mod p_i. Значит ни один из p_i не делит P.

5. Если p1, …, pn — последовательные простые числа, то P = p1⋅…⋅pn − 1 простое — Неверно.

• Контрпример: p1,...,pn = 2,3,5,7. Тогда P = 2·3·5·7 − 1 = 210 − 1 = 209 = 11 · 19, т.е. композитное.

6. Если a1, …, an — составные числа, то a1⋅…⋅an + 1 — составное — Неверно.

• Пример: возьмём n = 1, a1 = 4 (составное). Тогда a1 + 1 = 5 — простое. Следовательно утверждение ложно.