Множеством решения неравенства (x-1)(5x+25)(2x-8)>0 является...
Задача: решить неравенство (x−1)(5x+25)(2x−8) > 0.
Пошагово:
- Упростим множители
- 5x + 25 = 5(x + 5)
- 2x − 8 = 2(x − 4)
Умножение констант: 5·2 = 10, которое положительно, поэтому знак неравенства не меняется: (x−1)(5x+25)(2x−8) > 0 ⇔ 10 (x−1)(x+5)(x−4) > 0 ⇔ (x−1)(x+5)(x−4) > 0.
Найдём нули множителей (точки разрыва знака) x = −5, x = 1, x = 4. Эти точки делят действительную прямую на интервалы: (−∞, −5), (−5, 1), (1, 4), (4, ∞).
Определим знак произведения на каждом интервале Можно подставить произвольное значение в каждом интервале или составить знаковую таблицу:
Для x < −5, например x = −6: (x−1)<0, (x+5)<0, (x−4)<0 → произведение (−)(−)(−) = − ( отрицательное ).
для −5 < x < 1, например x = 0: (x−1)<0, (x+5)>0, (x−4)<0 → (−)(+)(−) = (+) ( положительное ).
для 1 < x < 4, например x = 2: (x−1)>0, (x+5)>0, (x−4)<0 → (+)(+)(−) = (−) ( отрицательное ).
для x > 4, например x = 5: (x−1)>0, (x+5)>0, (x−4)>0 → ( + )( + )( + ) = + ( положительное ).
- Вывод Произведение положительно на интервалах (−5, 1) и (4, ∞). Так как неравенство строгое (>0), точки разрыва не включаем.
Ответ: (-5, 1) ∪ (4, ∞).
