Обозначим AD как основание длиной 2a. Так как трапеция прямоугольная и основания параллельны, можно разместить так: A(0,0), D(2a,0), B(0,h), C(a,h). Тогда CN — высота, опущенная из C на AD, и N имеет координату (a,0), то есть N — середина AD, как и дано.
Из условия угла D = 30° находим связь между a и h.
Вектор DC = C−D = (a−2a, h−0) = (−a, h), вектор DA = A−D = (−2a, 0).
cos D = (DC·DA)/(|DC||DA|) = [ (−a)(−2a) ] / (2a·√(a^2+h^2)) = a/√(a^2+h^2).
Так как D = 30°, cos D = √3/2. Отсюда √(a^2+h^2) = 2a/√3, и h^2 = a^2/3, следовательно h = a/√3.
Длины боковых сторон:
- AB = h = a/√3,
- CD = √( (2a−a)^2 + h^2 ) = √(a^2 + h^2) = 2a/√3.
Согласно условию, большая боковая сторона равна 4 см, значит CD = 4. Тогда 2a/√3 = 4 → a = 2√3, и соответственно h = a/√3 = 2.
Получаем размеры основания AD и BC:
- AD = 2a = 4√3,
- BC = a = 2√3.
Площадь трапеции:
S = ((AD + BC) / 2) · height = ((4√3 + 2√3)/2) · 2 = 6√3 см².
Ответ: 6√3 см².
