Найдите вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным 3, либо кратным 5, либо тому и другому одновременно

Задача: выбрать наудачу двузначное число (от 10 до 99). Найти вероятность того, что число кратно 3 или кратно 5 или одновременно и тем и другим.

Пояснение по шагам

1. Общее число двузначных чисел

• От 10 до 99 включительно: всего 90 чисел.

2. Обозначения

• Пусть A — множество двузначных чисел, кратных 3.
• Пусть B — множество двузначных чисел, кратных 5.
• Нужно найти P(A ∪ B) — вероятность того, что число принадлежит A или B (или обоим).

3. Подсчёт размерностей множеств

• |A|: количество двузначных чисел, кратных 3. Можно посчитать как разницу floor-функций: floor(99/3) − floor((10−1)/3) = 33 − 3 = 30. Иначе: последовательность 12, 15, 18, ..., 99 — всего 30 чисел. Значение: |A| = 30.

• |B|: количество двузначных чисел, кратных 5. floor(99/5) − floor(9/5) = 19 − 1 = 18. То есть чисел: 10, 15, 20, ..., 95 — 18 штук. Значение: |B| = 18.

• |A ∩ B|: числа, кратные и 3, и 5, то есть кратные 15. floor(99/15) − floor(9/15) = 6 − 0 = 6. Список: 15, 30, 45, 60, 75, 90 — всего 6 чисел.

4. Принцип включения–исключения

• |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| = 30 + 18 − 6 = 42.

5. Вероятность

• Всего чисел: 90.
• Вероятность: P(A ∪ B) = |A ∪ B| / 90 = 42 / 90 = 7 / 15 ≈ 0.4667.

Ответ: вероятность равна 7/15 ≈ 0.4667 (примерно 46.7%).

Дополнительная заметка

• Можно проверить через дополнение: вероятность противоположного события (число не делится ни на 3, ни на 5) равна 1 − 7/15 = 8/15, что согласуется с подсчётами.