Что такое 𝑥 ‾ 2 x 2 в формуле для вычисления дисперсии 𝐷 = 𝑥 2 ‾ − 𝑥 ‾ 2 D= x 2 − x 2 ?

Коротко: в формуле дисперсии D = ⟨x^2⟩ − ⟨x⟩^2 есть две разные вещи:

• ⟨x^2⟩ (или x^2̄) — среднее значение квадратов x. Это значит: взять каждое значение x_i возвести в квадрат, а потом найти их среднее.
• ⟨x⟩ (или x̄) — математическое ожидание или среднее значение x. Затем его возводят в квадрат: (⟨x⟩)^2 = x̄^2.

Таким образом, D = ⟨x^2⟩ − (⟨x⟩)^2 означает разницу между средней величиной квадрата x и квадратом средней величины x. Это и есть дисперсия.

Пояснение с шагами и пример

1. Обозначения

• Пусть есть набор наблюдений x1, x2, ..., xn.
• Среднее: x̄ = (x1 + x2 + ... + xn) / n.
• Среднее квадатов: ⟨x^2⟩ = (x1^2 + x2^2 + ... + xn^2) / n.
• Дисперсия (для совокупности): D = ⟨x^2⟩ − (⟨x⟩)^2 = (среднее квадатов) − (среднее)^2.

2. Пример Пусть данные: 2, 5, 9.

• Среднее: x̄ = (2 + 5 + 9) / 3 = 16/3 ≈ 5.3333.
• Среднее квадатов: ⟨x^2⟩ = (2^2 + 5^2 + 9^2) / 3 = (4 + 25 + 81) / 3 = 110/3 ≈ 36.6667.
• Дисперсия: D = ⟨x^2⟩ − x̄^2 = 110/3 − (16/3)^2 = 110/3 − 256/9 = (330 − 256)/9 = 74/9 ≈ 8.2222.
• Стандартное отклонение: σ = sqrt(D) ≈ 2.867.

3. Что было бы неверно Если взять только (x̄)^2 или только ⟨x^2⟩ без второй части, получится не дисперсия. Например, (x̄)^2 ≈ 28.444, а ⟨x^2⟩ ≈ 36.667 — разность между ними равна D.

4. Важное уточнение

• В формуле D = ⟨x^2⟩ − (⟨x⟩)^2 речь обычно о population-варианте дисперсии. Если считать выборочную дисперсию, то чаще используют s^2 = (1/(n−1)) Σ (x_i − x̄)^2, которая эквивалентна (1/(n−1))(n⟨x^2⟩ − n x̄^2) = ⟨x^2⟩ − x̄^2, делённая на (n−1). Но принцип тот же: разница между средней величиной квадтов и квадратом средней величины.

Итого:

• x̄^2 — квадрат среднего значения x.
• ⟨x^2⟩ — среднее значения квадрата x.
• Дисперсия D = ⟨x^2⟩ − x̄^2 измеряет разброс значений вокруг среднего.