(х-5)²<√7×(х-5)

Задача: (x − 5)² < √7 · (x − 5)

Детальное решение по шагам

1. Обозначим t = x − 5. Тогда неравенство перепишется как t² < √7 · t.

2. Перенесём всё в одну сторону: t² − √7 t < 0.

3. Факторизуем левую часть: t(t − √7) < 0.

4. Найдём знаки на промежутках. Точки разрыва: t = 0 и t = √7. Проверим интервалы:

   • t < 0: здесь оба множителя отрицательны ⇒ произведение положительно.
   • 0 < t < √7: первый множитель положителен, второй отрицателен ⇒ произведение отрицательно.
   • t > √7: оба множителя положительны ⇒ произведение положительно. Поскольку нам нужно произведение < 0, получаем допустимый интервал: 0 < t < √7.

5. Возьмём обратно t = x − 5: 0 < x − 5 < √7 ⇒ x ∈ (5, 5 + √7).

Ответ: x ∈ (5, 5 + √7)

Пояснения и проверка

• Неравенство строгие, поэтому концы не включаются.
• Можно также рассмотреть вариант деления на t, но только после того, как мы уже зафиксировали, что t > 0 из условия. Разделив 0 < t < √7 на t, получим t < √7, что согласуется с выводом.
• Пример: возьмём x = 5.5 (t = 0.5). Тогда левее: (0.5)² = 0.25, правее: √7 · 0.5 ≈ 1.3229, 0.25 < 1.3229 — верно. За пределами интервала неравенство нарушается.