. Логарифмы каких натуральных чисел, не превосходящих 100, можно вычислить, зная значения 1g2 и 1g3?

Предположим, что известно значение логарифмов log 2 и log 3 в заданной системе (например, в base 10). Тогда можно вычислять логарифм числа n, если его разложение по простым числам содержит только 2 и 3. Как это работает: - Любое число n, содержащее только простые множители 2 и/или 3, можно записать как n = 2^a · 3^b, где a и b — неотрицательные целые числа. - Тогда log(n) = a·log(2) + b·log(3). Значит, зная log 2 и log 3, можно вычислить логарифм любого такого n. Если в n встречаются какие-либо иные простые числа (например, 5, 7 и т. д.), то логарифм n нельзя получить только из log 2 и log 3, потому что потребовалось бы знание логарифма этих других простых. Задача: какие натуральные числа n, не превосходящие 100, можно выразить как 2^a · 3^b и значит вычислить их логарифм по логарам 2 и 3? Найдем все пары (a, b): - b = 0: 2^a ≤ 100 → a = 0,1,2,3,4,5,6 → числа: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 - b = 1: 3 · 2^a ≤ 100 → 2^a ≤ 33.3 → a = 0,1,2,3,4,5 → числа: 3, 6, 12, 24, 48, 96 - b = 2: 9 · 2^a ≤ 100 → 2^a ≤ 11.1 → a = 0,1,2,3 → числа: 9, 18, 36, 72 - b = 3: 27 · 2^a ≤ 100 → 2^a ≤ 3.7 → a = 0,1 → числа: 27, 54 - b = 4: 81 · 2^a ≤ 100 → 2^a ≤ 1.23 → a = 0 → число: 81 - b ≥ 5 → минимальное число 2^0·3^5 = 243 > 100, поэтому останавливаемся. Собираем все уникальные числа и сортируем: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 32, 36, 48, 54, 64, 72, 81, 96 Итого: - можно вычислить логарифм для 20 чисел не более чем до 100: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 32, 36, 48, 54, 64, 72, 81, 96. - логарифмы чисел, содержащих иные простые множители (например, 5, 10, 25 и т. д.), нельзя получить только по log 2 и log 3. Опережающее замечание: базу логарифма можно взять любую одинаково для всех чисел; формула log(n) = a·log(2) + b·log(3) сохраняется в любой системе оснований.