Центр симметрии у атрезков

Задача: центр симметрии у отрезка AB.

Что такое центр симметрии

• Центр симметрии фигуры — точка C такая, что при повороте на 180° вокруг C каждая точка фигуры переходит в другую точку той же фигуры. Для отрезка AB это означает, что A и B обмениваются местами, а весь отрезок отображается сам на себя.

Как найти центр симметрии отрезка AB

• Для отрезка AB центр симметрии — это середина отрезка AB. Назовём её M.
• Почему именно середина? Потому что только точка M, удовлетворяющая AM = MB, имеет свойство: при повороте на 180° вокруг M точка A переходит в точку B, а наоборот, и весь отрезок остаётся на месте.

Пошагово

1. Обозначим координаты концов отрезка: A(x1, y1) и B(x2, y2) (в плоскости).
2. Найдите середину M как среднее арифметическое концов:
   • Mx = (x1 + x2) / 2
   • My = (y1 + y2) / 2
3. Полученное M = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2) и есть центр симметрии отрезка AB.
4. Проверка: AM = MB и направление вектора MA противоположно MB, что подтверждает центральную симметрию.

Пример

• Пусть A(1, 3) и B(7, -1).
  • Mx = (1 + 7) / 2 = 4
  • My = (3 + (-1)) / 2 = 1
  • Центр симметрии M = (4, 1)
  • Вектор MA = A − M = (1−4, 3−1) = (−3, 2)
  • Вектор MB = B − M = (7−4, −1−1) = (3, −2) = −(−3, 2)
  • Длина AM равна длине MB, и поворот на 180° вокруг M переворачивает A в B. Значит, M является центром симметрии.

Замечания

• Центр симметрии отрезка AB всегда существует и уникален — это его середина.
• В общем виде для любой пары концов A(x1, y1) и B(x2, y2) центр симметрии — это M = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2).
• В 3D координатах аналогично: M = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2, (z1+z2)/2).

Коротко: центр симметрии отрезка — это его середина. Если нужно, могу привести дополнительные примеры с разными координатами или векторный способ доказательства.