Игральный кубик подбрасывают до тех пор, пока не выпадет чётное число. Какова вероятность, что для этого понадобится не более четырёх подбрасываний?

Предположим, что игральный кубик симметричный (каждая грань 1–6), и нас интересует первое появление чётного числа (2, 4, 6).

1. Вероятности на одном броске

• Чётное число выпадает с вероятностью 3/6 = 1/2.
• Нечётное число (1, 3, 5) с вероятностью 1/2.

2. Что означает задача

• Пусть X — число бросков до первого появления чётного числа (X следует геометрическому распределению с параметром p = 1/2).
• Нам нужно P(X ≤ 4), то есть вероятность, что чётное появится не позже чем на четвёртом броске.

3. Вычисление

• Способ 1 (комплемент): P(X ≤ 4) = 1 − P(X > 4). X > 4 означает, что за первые четыре броска не было чётного, то есть все четыре броска были нечётными. P(4 нечётных подряд) = (1/2)^4 = 1/16. Итого: P(X ≤ 4) = 1 − 1/16 = 15/16.

• Способ 2 (сумма вероятностей X = k, k = 1..4): P(X = 1) = 1/2 P(X = 2) = (1/2)(1/2) = 1/4 P(X = 3) = (1/2)^3 = 1/8 P(X = 4) = (1/2)^4 = 1/16 Сумма: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 15/16.

4. Ответ

• Вероятность того, что понадобится не более четырёх подбрасываний: 15/16 = 0.9375.

Дополнительно:

• Общая формула для любого n: P(X ≤ n) = 1 − (1 − p)^n, здесь p = 1/2, поэтому P(X ≤ 4) = 1 − (1/2)^4 = 15/16.