Решите биквадратные уравнения: а) d⁴-2d²+1=0 б) -5s⁴=10s²+12 в) 6х⁴=-26х²-24 г) k⁴-8k²=-16 д) 20m⁴=-11m²+3 е) 10с⁴-49c²=-49

Ниже подробно решаю биквадратные уравнения по каждому пункту. Для каждого уравнения сначала ввожу замену y = (переменная)^2, затем решаю квадратное уравнение на y и возвращаюсь к исходной переменной. Рассматриваю действительные решения (типично для 8-го класса). a) d^4 - 2 d^2 + 1 = 0 - Пусть y = d^2 (y ≥ 0). Тогда получаем y^2 - 2y + 1 = 0. - Это квадрат троя: (y - 1)^2 = 0, следовательно y = 1. - Теперь d^2 = 1 ⇒ d = ±1. Ответ: d ∈ { -1, 1 }. б) -5 s^4 = 10 s^2 + 12 - Переносим все в одну сторону: -5 s^4 - 10 s^2 - 12 = 0. Умножим на -1: 5 s^4 + 10 s^2 + 12 = 0. - Пусть y = s^2 (y ≥ 0). Получаем 5 y^2 + 10 y + 12 = 0. - Дискриминант D = 10^2 - 4·5·12 = 100 - 240 = -140 < 0. - Значит действительных решений для s нет. Ответ: нет действительных решений. в) 6x^4 = -26x^2 - 24 - Перенесем: 6x^4 + 26 x^2 + 24 = 0. Пусть y = x^2 (y ≥ 0). Получаем 6 y^2 + 26 y + 24 = 0. - Сократим на 2: 3 y^2 + 13 y + 12 = 0. - Факторизация: (3y + 4)(y + 3) = 0, значит y = -4/3 или y = -3. - Оба значения отрицательны, а y = x^2 ≥ 0. Следовательно, действительных решений нет. Ответ: нет действительных решений. г) k^4 - 8k^2 = -16 - Перенесем: k^4 - 8k^2 + 16 = 0. Пусть y = k^2 (y ≥ 0). Тогда y^2 - 8y + 16 = 0 = (y - 4)^2. - Значит y = 4 → k^2 = 4 → k = ±2. Ответ: k ∈ { -2, 2 }. д) 20m^4 = -11m^2 + 3 - Перенесем: 20m^4 + 11m^2 - 3 = 0. Пусть y = m^2 (y ≥ 0). Получаем 20 y^2 + 11 y - 3 = 0. - Дискриминант D = 11^2 - 4·20·(-3) = 121 + 240 = 361, sqrt(D) = 19. - y = (-11 ± 19) / (40). Значения: y1 = 8/40 = 1/5, y2 = -30/40 = -3/4. - Только y ≥ 0 принимаем: y = 1/5. Значит m^2 = 1/5 → m = ±√(1/5) = ±√5/5. Ответ: m ∈ { -√5/5, √5/5 }. е) 10c^4 - 49c^2 = -49 - Перенесем: 10c^4 - 49c^2 + 49 = 0. Пусть y = c^2 (y ≥ 0). Получаем 10 y^2 - 49 y + 49 = 0. - Дискриминант D = (-49)^2 - 4·10·49 = 2401 - 1960 = 441, sqrt(D) = 21. - y = (49 ± 21) / (20). Получаем y1 = 70/20 = 7/2, y2 = 28/20 = 7/5. - Оба значения неотрицательны, значит есть корни. - Соответственно c^2 = 7/2 или c^2 = 7/5. Тогда: - из c^2 = 7/2: c = ±√(7/2) = ±√14/2. - из c^2 = 7/5: c = ±√(7/5) = ±√35/5. Ответ: c ∈ { -√14/2, √14/2, -√35/5, √35/5 }. Итоги по всем пунктам: - a) d = -1 или d = 1. - б) нет действительных решений. - в) нет действительных решений. - г) k = -2 или k = 2. - д) m = ±√5/5. - е) c = ±√14/2 или c = ±√35/5.