На сторонах АС и АВ треугольника АВС отметили соответственно точки D и Р так, что CD : DA = 6 : 1, AP : PB = 3 : 2. В каком отношении прямая DP делит медиану АМ?
Ответ: DP делит медиану AM в отношении 3:10 (AK:KM = 3:10, где K — точка пересечения DP и AM).
Пошаговое решение (с использованием координатной геометрии):
1) Установим систему координат
- Пусть A = (0, 0).
- Пусть B = (b, 0) (ось AB по оси x).
- Пусть C = (0, c) (AC по оси y).
- Тогда середина BC: M = ((b+0)/2, (0+c)/2) = (b/2, c/2).
2) Найдём точки D на AC и P на AB согласно данным отношениям
- D лежит на AC и CD:DA = 6:1.
Пути вдоль AC: A = (0,0) до C = (0,c). Пусть D = (0, yD).
Тогда DA = yD, CD = c − yD и (c − yD) : yD = 6 : 1.
Значит c − yD = 6yD ⇒ c = 7yD ⇒ yD = c/7.
Значит D = (0, c/7).
- P лежит на AB и AP:PB = 3:2.
Пусть P = (xP, 0) на отрезке AB от A к B.
AP = xP, PB = b − xP и xP:(b − xP) = 3:2.
Решая: xP/(b − xP) = 3/2 ⇒ 2xP = 3b − 3xP ⇒ 5xP = 3b ⇒ xP = 3b/5.
Значит P = (3b/5, 0).
3) Запишем уравнения прямых AM и DP и найдём их пересечение
- Прямая AM: от A(0,0) к M(b/2, c/2) ⇒ в параметрической форме
(x, y) = (t·b/2, t·c/2), где t ∈ [0, 1].
- Прямая DP: через D(0, c/7) и P(3b/5, 0).
Вектор P − D = (3b/5, −c/7).
Параметрически: (x, y) = D + s·(P − D) = ( (3b/5)s, c/7 − (c/7)s ) = ( (3b/5)s, (c/7)(1 − s) ), где s ∈ [0, 1].
4) Найдём точку пересечения K = AM ∩ DP
При совпадении координат:
- по x: t·b/2 = (3b/5)s ⇒ t/2 = (3/5)s ⇒ t = (6/5) s.
- по y: t·c/2 = (c/7)(1 − s) ⇒ t/2 = (1/7)(1 − s) ⇒ t = (2/7)(1 − s).
Приравняем выражения для t:
(6/5) s = (2/7)(1 − s)
Раскроем: (6/5)s = 2/7 − (2/7)s
(6/5 + 2/7)s = 2/7
Сложим дроби: (42/35 + 10/35)s = 2/7 ⇒ (52/35)s = 2/7
s = (2/7) · (35/52) = 10/52 = 5/26.
Тогда t = (6/5)s = (6/5)·(5/26) = 6/26 = 3/13.
5) В каком отношении DP делит медиану AM
Точка K лежит на AM, где AM идёт от A к M; параметр t = AK/AM.
Здесь t = 3/13, следовательно AK = (3/13) AM и KM = (1 − 3/13) AM = (10/13) AM.
Отношение AK:KM = (3/13) : (10/13) = 3:10.
Ответ: прямая DP делит медиану AM в отношении 3:10 (от A к M).
