Дан прямоугольный треугольник АВС. Гипотенуза АВ равна 50 см. Прямая АD делит сторону СВ пополам. МN – средняя линия треугольника АВD и равна 10 см. Найти катет АС.
Решение по шагам (Цель: понять).
Дано:
- Прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB = 50 см. Значит угол C = 90°, и AB^2 = AC^2 + BC^2.
- D — середина стороны CB (прямая AD делит CB пополам).
- MN — середняя линия треугольника ABD и равна 10 см.
Обозначим:
- AC = a, BC = b. Тогда по теореме Пифагора: a^2 + b^2 = 50^2 = 2500.
Рассмотрим, какую середнюю линию может быть MN в треугольнике ABD. В треугольнике ABD возможны три середние линии, каждая из которых соединяет середины двух сторон и параллельна третьей стороне. В зависимости от того, какие стороны соединены, получим:
MN соединяет середины AB и BD → MN ∥ AD и MN = (1/2) AD. Значит AD = 2·MN = 20. AD^2 = a^2 + (b/2)^2 = 400. Но из a^2 + b^2 = 2500 следует a^2 + b^2/4 = 400, что даёт b^2 = 2800 → a^2 = 2500 − 2800 = −300. Противоречие, значит этот вариант невозможен.
MN соединяет середины AB и AD → MN ∥ BD и MN = (1/2) BD. Значит BD = 2·MN = 20. В нашем разборе BD = расстояние между B(0,b) и D(0,b/2), то есть BD = b/2. Тогда b/2 = 20 → b = 40. Тогда a^2 = 2500 − b^2 = 2500 − 1600 = 900 → a = 30. Этот вариант совместим с данными.
MN соединяет середины AD и BD → MN ∥ AB и MN = (1/2) AB = 25. Но дано MN = 10, значит этот вариант невозможен.
Итак, единственно верный вариант — второй. Получается:
- BC = b = 40
- AC = a = 30
- AB = 50 (проверка по Пифагору)
Ответ: катет AC равен 30 см.
