На отрезке AB взята точка C. Через точки A и B проведены по одну сторону от AB параллельные лучи.На них отложены отрезки AD=AC и BE=BC. Точка C соединена отрезками прямых с…
На отрезке AB взята точка C. Через точки A и B проведены по одну сторону от AB параллельные лучи.На них отложены отрезки AD=AC и BE=BC. Точка C соединена отрезками прямых с точками D и E. Докажите, что DC перпендикулярно CE
Задача: на отрезке AB взята точка C. Через A и B проведены параллельные лучи, лежащие с одной стороны от AB. На этих лучах отложены AD = AC и BE = BC. Соединяем C с D и E. Доказать, что DC перпендикулярно CE.
Решение (пошагово):
- Введение координат
- Пусть AB лежит на оси Ox: A = (0, 0), B = (1, 0).
- Пусть C = (c, 0), где 0 ≤ c ≤ 1 (C лежит на отрезке AB).
- Пусть параллельные лучи через A и через B имеют одну и ту же направляющую величину и направление. Обозначим этой общей направляющей вектор v = (p, q) с q > 0 (лучи лежат над AB).
- Длина вектора v равна |v| = sqrt(p^2 + q^2). Так как AD = AC и D лежит на луче через A в направлении v, точка D задаётся как D = A + (AC/|v|) v. Аналогично E = B + (BC/|v|) v.
- Координаты точек D и E
- AC = расстояние от A до C = c.
- BC = расстояние от B до C = 1 − c.
- Следовательно, D = (c/|v|) · (p, q) = ( (c p)/|v|, (c q)/|v| ). E = (1, 0) + ((1 − c)/|v|) · (p, q) = ( 1 + (1 − c)p/|v|, (1 − c) q/|v| ).
- Векторы DC и EC
- DC = C − D = ( c − (c p)/|v|, 0 − (c q)/|v| ) = ( c(1 − p/|v|), − c q/|v| ).
- EC = C − E = ( c − [1 + (1 − c)p/|v|], 0 − (1 − c) q/|v| ) = ( c − 1 − (1 − c)p/|v|, − (1 − c) q/|v| ).
- Скалярное произведение и минус единицы
- Пусть t = p/|v| и s = q/|v|. Тогда t^2 + s^2 = 1.
- Тогда DC · EC = [ c(1 − t) ] [ c − 1 − (1 − c)t ] + [ − c s ] [ − (1 − c)s ].
- Упростим: c − 1 = −(1 − c). Тогда c − 1 − (1 − c)t = −(1 − c)(1 + t). Значит первый член равен − c(1 − c)(1 − t^2) = − c(1 − c)s^2.
- Второй член равен c(1 − c)s^2.
- Сумма равна нулю: DC · EC = − c(1 − c)s^2 + c(1 − c)s^2 = 0.
- Вывод Так как скалярное произведение векторов DC и EC равно нулю, векторы DC и CE перпендикулярны. Значит DC ⟂ CE.
Дополнительная поясняющая мысль: решение не зависит от конкретного положения точки C на AB и от направления пар параллельных лучей, главное — AD = AC и BE = BC и то, что лучи через A и B направлены параллельно друг другу и лежат с одной стороны от AB. В этом и состоит геометрическая причина перпендикулярности CD и CE.
