ABCDA1B1C1D1 — прямоуный параллелепипед. АВ = 5, АD = 12, угол BDB1 = 45. найти ВВ1

Задача: прямой параллелепипед ABCD A1B1C1D1, AB = 5, AD = 12, угол BDB1 = 45°. Найти BB1.

Доказательство шаг за шагом:

• Разместим параллелепипед в системе координат. Пусть A = (0,0,0). Так как AB = 5 и AB перпендикулярно AD, возьмём B = (5,0,0), D = (0,12,0). Тогда B1 над B на высоте h: B1 = (5,0,h). D1 = (0,12,h). Неизвестно h = BB1.

• Векторы, образующие угол в точке D: DB = B − D = (5, −12, 0). Его модуль |DB| = sqrt(5^2 + 12^2) = 13. DB1 = B1 − D = (5, −12, h). Его модуль |DB1| = sqrt(5^2 + (−12)^2 + h^2) = sqrt(169 + h^2).

• Косинус угла между DB и DB1: cos(∠BDB1) = (DB · DB1) / (|DB| |DB1|). DB · DB1 = 55 + (−12)(−12) + 0*h = 25 + 144 = 169.

  Значит cos(45°) = 169 / (13 * sqrt(169 + h^2)). cos(45°) = sqrt(2)/2, поэтому 169 / (13 * sqrt(169 + h^2)) = sqrt(2)/2.

• Решение относительно h: sqrt(169 + h^2) = 13 * (2 / sqrt(2)) = 13 sqrt(2). 169 + h^2 = (13 sqrt(2))^2 = 338. h^2 = 338 − 169 = 169. h = 13 (положительное длина,height).

Ответ: BB1 = 13.