сколько будет √478
Ответ: sqrt(478) ≈ 21.863211 (приближенно до шести знаков после запятой)
Подробное решение (для понятия)
Примем, что 21^2 = 441, а 22^2 = 484. Значит sqrt(478) лежит между 21 и 22, ближе к 22, потому что 478 почти равно 484.
Используем метод Ньютона для корня. Общая формула: x_{n+1} = (x_n + a/x_n)/2, где a = 478.
Первая аппроксимация: Выбираем начальное приближение x_0 = 22. x_1 = (x_0 + a/x_0)/2 = (22 + 478/22)/2 = (22 + 21.7272727)/2 ≈ 21.86363636.
Вторая аппроксимация: Нужно найти a/x_1. Можно заметить, что x_1^2 ≈ 478.018595, то есть a/x_1 ≈ x_1 - (x_1^2 − a)/x_1 ≈ 21.86363636 − 0.018595/21.86363636 ≈ 21.862786. Тогда x_2 = (x_1 + a/x_1)/2 ≈ (21.86363636 + 21.862786)/2 ≈ 21.86321118.
Проверка и более точное значение: x_2^2 ≈ 478.0000, значит полученное значение очень близко к истинному sqrt(478). Точное значение дополнительной точности можно записать как 462713/21164 ≈ 21.86321096, что даёт ещё меньше погрешность.
Итог: sqrt(478) не является целым числом (478 = 2 · 239), поэтому даётся как иррациональное число. Приближённое значение: 21.863211 (до 6 знаков после запятой). Если нужен более точный вывод, могу привести ещё одну итерацию или показать альтернативный метод округления.
