реши систему уравнений 3x²-2y=1 2x²-y²=1

Решим систему:

1. 3x^2 - 2y = 1
2. 2x^2 - y^2 = 1

Шаг 1. Выразим y через x из первой уравнения. 2y = 3x^2 - 1 ⇒ y = (3x^2 - 1)/2

Шаг 2. Подставим y во второе уравнение. 2x^2 - y^2 = 1 2x^2 - [(3x^2 - 1)/2]^2 = 1

Умножим на 4: 8x^2 - (3x^2 - 1)^2 = 4

Раскроем скобки: (3x^2 - 1)^2 = 9x^4 - 6x^2 + 1

Тогда: 8x^2 - (9x^4 - 6x^2 + 1) = 4 -9x^4 + 14x^2 - 1 = 4 -9x^4 + 14x^2 - 5 = 0

Умножим на -1: 9x^4 - 14x^2 + 5 = 0

Шаг 3. Сократим переменную: положим t = x^2 (t ≥ 0). Получаем квадратное уравнение: 9t^2 - 14t + 5 = 0

Найдем корни: D = (-14)^2 - 4·9·5 = 196 - 180 = 16 t = (14 ± 4) / (18) t1 = 1, t2 = 5/9

Отсюда x^2 = 1 или x^2 = 5/9.

Шаг 4. Находим y для каждого случая. Из y = (3x^2 - 1)/2.

• Если x^2 = 1: y = (3·1 - 1)/2 = 2/2 = 1. Значит x = ±1, y = 1 → решения: (1, 1) и (-1, 1).

• Если x^2 = 5/9: y = (3·(5/9) - 1)/2 = (5/3 - 1)/2 = (2/3)/2 = 1/3. Значит x = ±√5/3, y = 1/3 → решения: (√5/3, 1/3) и (-√5/3, 1/3).

Итого, все решения системы (реальные):

• (1, 1)
• (-1, 1)
• (√5/3, 1/3)
• (-√5/3, 1/3)

Опционально, можно проверить подстановкой в обе уравнения — все четыре пары удовлетворяют системе.