Решим систему:
- 3x^2 - 2y = 1
- 2x^2 - y^2 = 1
Шаг 1. Выразим y через x из первой уравнения.
2y = 3x^2 - 1 ⇒ y = (3x^2 - 1)/2
Шаг 2. Подставим y во второе уравнение.
2x^2 - y^2 = 1
2x^2 - [(3x^2 - 1)/2]^2 = 1
Умножим на 4:
8x^2 - (3x^2 - 1)^2 = 4
Раскроем скобки:
(3x^2 - 1)^2 = 9x^4 - 6x^2 + 1
Тогда:
8x^2 - (9x^4 - 6x^2 + 1) = 4
-9x^4 + 14x^2 - 1 = 4
-9x^4 + 14x^2 - 5 = 0
Умножим на -1:
9x^4 - 14x^2 + 5 = 0
Шаг 3. Сократим переменную: положим t = x^2 (t ≥ 0).
Получаем квадратное уравнение:
9t^2 - 14t + 5 = 0
Найдем корни:
D = (-14)^2 - 4·9·5 = 196 - 180 = 16
t = (14 ± 4) / (18)
t1 = 1, t2 = 5/9
Отсюда x^2 = 1 или x^2 = 5/9.
Шаг 4. Находим y для каждого случая.
Из y = (3x^2 - 1)/2.
Если x^2 = 1: y = (3·1 - 1)/2 = 2/2 = 1.
Значит x = ±1, y = 1 → решения: (1, 1) и (-1, 1).
Если x^2 = 5/9: y = (3·(5/9) - 1)/2 = (5/3 - 1)/2 = (2/3)/2 = 1/3.
Значит x = ±√5/3, y = 1/3 → решения: (√5/3, 1/3) и (-√5/3, 1/3).
Итого, все решения системы (реальные):
- (1, 1)
- (-1, 1)
- (√5/3, 1/3)
- (-√5/3, 1/3)
Опционально, можно проверить подстановкой в обе уравнения — все четыре пары удовлетворяют системе.
