найти промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции f(x) = 12 + 72x + 3x² - x³

Решение задачи: найти промежутки возрастания/убывания и точки экстремума для f(x) = 12 + 72x + 3x^2 - x^3.

1. Найдём производную

• f'(x) = 72 + 6x - 3x^2 = -3x^2 + 6x + 72
• Приведём к факторному виду: f'(x) = -3(x^2 - 2x - 24) = -3(x - 6)(x + 4)

2. Найдём критические точки

• f'(x) = 0 при x = -4 и x = 6.

3. Определим знаки производной (интервальный разбор)

• Для x < -4: возьмём x = -5 → (x - 6) < 0, (x + 4) < 0 ⇒ произведение > 0, но с коэффициентом -3 получаем f'(x) < 0. Значит функция убывает на (-∞, -4).
• Для -4 < x < 6: возьмём x = 0 → (x - 6) < 0, (x + 4) > 0 ⇒ произведение < 0, с -3 даёт f'(x) > 0. Значит функция возрастает на (-4, 6).
• Для x > 6: возьмём x = 7 → (x - 6) > 0, (x + 4) > 0 ⇒ произведение > 0, с -3 даёт f'(x) < 0. Значит функция убывает на (6, ∞).

Итого:

• возрастание: (-4, 6)
• убывание: (-∞, -4) и (6, ∞)

4. Точки экстремума

• На x = -4 знак f' изменяется с минуса на плюс: локальный минимум.
• На x = 6 знак f' изменяется с плюса на минус: локальный максимум.

Оценим значения функции в критических точках:

• f(-4) = 12 + 72(-4) + 3(-4)^2 - (-4)^3 = 12 - 288 + 48 + 64 = -164
• f(6) = 12 + 72(6) + 3(6^2) - 6^3 = 12 + 432 + 108 - 216 = 336

Итак, точки экстремума:

• локальный минимум при x = -4, f(-4) = -164
• локальный максимум при x = 6, f(6) = 336

Замечание: глобальных экстремумов на всей числовой оси нет (поскольку при x → -∞ f(x) → ∞, а при x → ∞ f(x) → -∞). Если понадобится, могу дополнительно проверить вторым производным.