Катеты прямоугольного треугольника относятся, как 5:12, а гипотенуза равна 65. Найдите меньший катет треугольника.

Задача решается по шагам. 1) Пусть у прямоугольника стороны-каты: a и b (a ≤ b), гипотенуза c. Задано отношение катетов: a:b = 5:12. Значит можно записать: a = 5k, b = 12k для некоторого положительного k. 2) По теореме Пифагора: a^2 + b^2 = c^2. У нас c = 65, поэтому: (5k)^2 + (12k)^2 = 65^2 25k^2 + 144k^2 = 4225 169k^2 = 4225 k^2 = 4225 / 169 = 25 k = 5 (положительное). 3) Найдём меньший катет: a = 5k = 5·5 = 25. (Также можно проверить через известное соотношение 5:12:13: гипотенуза равна 13k; если 13k = 65, то k = 5, и меньший катет = 5k = 25.) Ответ: меньший катет равен 25.