разложи на множитель квадратные уравнение 2x²-4x-5

Задача: разложить 2x^2 − 4x − 5 на множители.

1. Попытка разложения на множители с целыми коэффициентами

• Применяем метод «AC»: ac = 2·(-5) = -10, b = -4.
• Нужно найти два числа, которые умножаются на -10 и в сумме дают -4. Таких пары нет.
• Значит разложение на целые коэффициенты не получится. Потребуется корни с радикалами.

2. Найдём корни уравнения 2x^2 − 4x − 5 = 0

• Дискриминант D = b^2 − 4ac = (-4)^2 − 4·2·(-5) = 16 + 40 = 56.
• Корни: x = [4 ± sqrt(56)] / (2·2) = [4 ± 2√14] / 4 = 1 ± √14/2.
• То есть x1 = 1 + √14/2, x2 = 1 − √14/2.

3. Запишем разложение на множители через корни

• Общая формула: ax^2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2) для квадратного с коэффициентом a.
• Здесь a = 2, поэтому: 2x^2 − 4x − 5 = 2 (x − x1)(x − x2) = 2 [ x − (1 + √14/2) ] [ x − (1 − √14/2) ].

4. Альтернативная запись через разность квадратов

• Можно увидеть как completing the square: 2x^2 − 4x − 5 = 2[(x − 1)^2 − (√14/2)^2] = 2 [(x − 1) − √14/2] [(x − 1) + √14/2].

Итого, разложение на множители: 2x^2 − 4x − 5 = 2 (x − 1 − √14/2) (x − 1 + √14/2)

Примечание: это разложение в линейные множители с irrational коэффициентами. Разложение на целые коэффициенты не возможно. Если нужно, можно привести численно: √14 ≈ 3.7417, тогда 2x^2 − 4x − 5 ≈ 2 (x − 2.8708)(x + 0.8708).