x² - 6x - 9 = 0 теория Вета

Задача: x^2 - 6x - 9 = 0. Решаем с помощью формул Виета (теория Виета).

1. Обозначим корни уравнения как r1 и r2. Для квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) по формулам Виета:

• сумма корней: r1 + r2 = -b/a
• произведение корней: r1 r2 = c/a

Здесь a = 1, b = -6, c = -9.

• r1 + r2 = -(-6)/1 = 6
• r1 r2 = (-9)/1 = -9

2. Найдём сами корни, решив систему: r1 + r2 = 6 r1 r2 = -9

Выразим r1 = 6 - r2 и подставим в произведение: (6 - r2) r2 = -9 → -r2^2 + 6r2 + 9 = 0 → r2^2 - 6r2 - 9 = 0

3. Решаем квадратное уравнение для r2: Δ = (-6)^2 - 4·1·(-9) = 36 + 36 = 72 r2 = (6 ± √72)/2 = (6 ± 6√2)/2 = 3 ± 3√2

Тогда r1 = 6 - r2:

• если r2 = 3 + 3√2, то r1 = 3 - 3√2
• если r2 = 3 - 3√2, то r1 = 3 + 3√2

Итак, корни уравнения: x1 = 3 + 3√2, x2 = 3 - 3√2

4. Факторизация (для наглядности): x^2 - 6x - 9 = (x - (3 + 3√2))(x - (3 - 3√2)) = 0

5. Приближённые значения: x1 ≈ 3 + 3·1.4142 ≈ 7.2426 x2 ≈ 3 - 3·1.4142 ≈ -1.2426

6. Быстрая проверка через квадрат суммы: (x - 3)^2 = 18 → x = 3 ± √18 = 3 ± 3√2, что совпадает с полученными корнями.

Если нужно, могу привести аналогичные примеры или показать ещё один способ (через квадратное дополнение).