Задача по физике: два конденсатора, C1 = 4 нФ и C2 = 12 нФ, заряжены до U1 = 20 В и U2 (где U2 > U1). После соединения с одинаковыми полюсами выделилось тепло Q = 8×10^−9 Дж. Найти U2.
Два ключевых принципа:
- При соединении заряженных конденсаторов с одинаковыми полюсами суммарный заряд сохраняется.
- Энергия системы уменьшается на величину выделяемого тепла: E_i − E_f = Q.
Шаг 1. Начальные величины
- q1 = C1 U1 = 4×10^−9 Ф × 20 В = 80×10^−9 Кл
- q2 = C2 U2 = 12×10^−9 Ф × U2
Общая ёмкость при соединении параллельно: C_total = C1 + C2 = 16×10^−9 Ф.
После соединения общий заряд распределится так, чтобы напряжение Uf на обоих конденсаторах было одинаковым:
Uf = (q1 + q2) / C_total = (4e-9·20 + 12e-9·U2) / (16e-9) = (80 + 12 U2) / 16 = 5 + 0.75 U2.
Шаг 2. Энергии
- E_i = ½ C1 U1^2 + ½ C2 U2^2 = ½(4e−9)(20^2) + ½(12e−9) U2^2
= 8×10^−7 + 6×10^−9 U2^2 Дж.
- E_f = ½ (C1 + C2) Uf^2 = ½(16e−9) Uf^2 = 8×10^−9 Uf^2 Дж.
где Uf = 5 + 0.75 U2.
Уравнение энергии с учетом выделившегося тепла:
E_i − E_f = Q
8×10^−7 + 6×10^−9 U2^2 − 8×10^−9 (5 + 0.75 U2)^2 = 8×10^−9.
Упрощение (переведем в единицы 10^−9 Дж):
800 + 6 U2^2 − 8 (5 + 0.75 U2)^2 = 8.
Раскрываем скобки:
800 + 6 U2^2 − 8[25 + 7.5 U2 + 0.5625 U2^2] = 8
800 + 6 U2^2 − [200 + 60 U2 + 4.5 U2^2] = 8
600 + 1.5 U2^2 − 60 U2 = 8
1.5 U2^2 − 60 U2 + 592 = 0.
Умножим на 2 для устранения десятичных:
3 U2^2 − 120 U2 + 1184 = 0.
Шаг 3. Решение квадратного уравнения
D = (−120)^2 − 4·3·1184 = 14400 − 14208 = 192.
sqrt(D) = sqrt(192) = 8√3.
U2 = [120 ± 8√3] / (2·3) = [120 ± 8√3] / 6 = 20 ± (4√3)/3.
Численно:
- U21 ≈ 20 + 2.309 ≈ 22.309 В
- U22 ≈ 20 − 2.309 ≈ 17.691 В
Условие задачи требует U2 > U1, следовательно выбираем U2 ≈ 22.31 В.
Ответ: U2 ≈ 22.31 В. При этом итоговое напряжение Uf на обоих конденсаторах будет Uf = 5 + 0.75 U2 = 5 + 0.75·22.309 ≈ 21.732 В.
