концы отрезка AB лежат на параллельных прямых a и b . Прямая проходящая через середину О этого отрезка пересекает прямые a и b в точках C и D. докажите что CO=OD
Доказательство системой центральной симметрии (поворота на 180°) вокруг точки O.
Даны: прямые a и b параллельны, A на a, B на b, O — середина отрезка AB. Прямая через O пересекает a в C и b в D. Нужно доказать OC = OD.
Рассмотрим симметрию вокруг точки O (то есть поворот на 180°). Эта симметрия при любом X отображает X в X′ так, что O является серединой XX′.
Эта симметрия отображает линию a в линю, параллельную a, проходящую через точку B. Но так как b — единственная прямая, параллельная a, проходящая через B, именно она и есть b. Следовательно, симметрия отправляет линию a в линию b.
Прямая CD проходит через O (она пересекает a в C и b в D, значит C, O, D лежат на одной прямой). Такая прямая остаётся самой собой под симметрией через O.
С учетом шага 2, образ точки C по симметрии лежит на линии b и на той же прямой CD, то есть совпадает с точкой D. Значит C и D являются симметричными относительно O, и OC = OD.
Вывод: CO = OD. Это верно независимо от того, каким именно выбором линии через O являются C и D, если она пересекает параллельные a и b.
