Точки Е и F лежат на сторонах AD и ВС соответственно параллелограмма ABCD, причём АЕ = ED, BF : FC = 4 : 3. а) Выразите вектор EF через векторы т = АВ и п = AD. б) Может ли при каком-нибудь значении х выполняться равенство EF = х • CD?

Решение. Дадим обозначения: - t = AB - p = AD - A – начало отсчёта (можно считать A как ноль) 1) Координаты точек - B = A + t - D = A + p - C = B + p = A + t + p - E лежит на AD и AE = ED, значит E – середина AD: E = A + p/2 - F лежит на BC и BF:FC = 4:3. Поскольку BC = AD = p, то F делит BC в отношении 4:3 от B к C: F = B + (4/7)(C − B) = (A + t) + (4/7)p 2) Вектор EF EF = F − E = [A + t + (4/7)p] − [A + (1/2)p] = t + (4/7 − 1/2)p = t + (8/14 − 7/14)p = t + (1/14)p Итак, ответ а): EF = AB + (1/14) AD, то есть EF = t + (1/14) p. 3) Может ли EF быть равен x · CD? CD = D − C = (A + p) − (A + t + p) = −t. Чтобы EF = x · CD, нам нужно t + (1/14)p = −x t. Перепишем по базису t, p. Поскольку t и p неколлинеарны (это невырожденный параллелограмм), единственный способ равенства выполняться — коэффициенты по t и p должны совпасть: - по p: 1/14 должно быть равно 0, что невозможно; - по t: 1 равно −x, но условие по p уже нарушено. Следовательно, для любого ненулевого параллелограмма не существует такого скаляра x, чтобы EF = x · CD. Ответ на часть b): Нет, для ненулевого параллелограмма такого x не существует.