Точки Е и F лежат на сторонах AD и ВС соответственно параллелограмма ABCD, причём АЕ = ED, BF : FC = 4 : 3. а) Выразите вектор EF через векторы т = АВ и п = AD. б) Может ли при…
Точки Е и F лежат на сторонах AD и ВС соответственно параллелограмма ABCD, причём АЕ = ED, BF : FC = 4 : 3. а) Выразите вектор EF через векторы т = АВ и п = AD. б) Может ли при каком-нибудь значении х выполняться равенство EF = х • CD?
Решение.
Дадим обозначения:
- t = AB
- p = AD
- A – начало отсчёта (можно считать A как ноль)
- Координаты точек
B = A + t
D = A + p
C = B + p = A + t + p
E лежит на AD и AE = ED, значит E – середина AD: E = A + p/2
F лежит на BC и BF:FC = 4:3. Поскольку BC = AD = p, то F делит BC в отношении 4:3 от B к C: F = B + (4/7)(C − B) = (A + t) + (4/7)p
- Вектор EF EF = F − E = [A + t + (4/7)p] − [A + (1/2)p] = t + (4/7 − 1/2)p = t + (8/14 − 7/14)p = t + (1/14)p
Итак, ответ а): EF = AB + (1/14) AD, то есть EF = t + (1/14) p.
- Может ли EF быть равен x · CD? CD = D − C = (A + p) − (A + t + p) = −t.
Чтобы EF = x · CD, нам нужно t + (1/14)p = −x t.
Перепишем по базису t, p. Поскольку t и p неколлинеарны (это невырожденный параллелограмм), единственный способ равенства выполняться — коэффициенты по t и p должны совпасть:
- по p: 1/14 должно быть равно 0, что невозможно;
- по t: 1 равно −x, но условие по p уже нарушено.
Следовательно, для любого ненулевого параллелограмма не существует такого скаляра x, чтобы EF = x · CD.
Ответ на часть b): Нет, для ненулевого параллелограмма такого x не существует.
