14.9. В шар радиуса R вписана правильная четырёхугольная пирамида, боковое ребро которой образует с плоскостью основания угол а. Найдите высоту пирамиды.

Разберём задачу пошагово. Дано: - правильная четырёхугольная пирамида (основание — квадрат) с apex A и основанием BCDS (B1..B4). - шар радиуса R вписывает пирамиду, т.е. все вершины лежат на шаре. - боковое ребро AB образует с плоскостью основания угол α. - Нужно найти высоту пирамиды h (расстояние от вершины A до основания плоскости). Шаг 1. Расположение в координатах - Плоскость основания возьмём как z = 0, центр основания O = (0,0,0). - Вершины основания находятся на круге радиуса r = OB, где r = s/√2 (s — сторона квадрата). Поэтому выберем одну базовую вершину B как B = (r, r, 0). Другие вершины по симметрии — аналогично. - Основание пирамиды имеет высоту h, поэтому вершина A пирамиды = (0, 0, h). - Радиус сферы R и её центр C лежат на оси AO, то есть C = (0, 0, c) для некоторого c. Шаг 2. Уравнения для вершины А и вершины B на шаре Так как все вершины лежат на одной сфере радиуса R с центром C: - CA^2 = R^2: (h − c)^2 = R^2. - CB^2 = R^2: r^2 + r^2 + c^2 = 2 r^2 + c^2 = R^2. Следовательно, из равенства CA^2 = CB^2 получаем: (h − c)^2 = 2 r^2 + c^2 раскрывая скобки: h^2 − 2hc = 2 r^2. (1) Шаг 3. Связь h и r через угол α Угол между боковым ребром AB и плоскостью основания равен α. Проекция AB на плоскость основания — это отрезок AO’B, где A’ — проекция A на плоскость (это точка O). По сути, горизонтальная составляющая AB равна OB = r, вертикальная — AH = h. Значит tan α = высота / горизонтальная составляющая = h / r. Отсюда r = h / tan α = h cot α. (2) Шаг 4. Выражение R через h и α Подставим (2) в (1): h^2 − 2h c = 2 r^2 = 2 h^2 cot^2 α Приведём подобные: h^2 − 2h c = 2 h^2 cot^2 α Отсюда 2h c = h^2 − 2 h^2 cot^2 α = h^2 (1 − 2 cot^2 α) Следовательно c = [h^2 (1 − 2 cot^2 α)] / (2h) = h (1 − 2 cot^2 α) / 2. Теперь найдём R через h и α: R^2 = (h − c)^2. Вычислим h − c: h − c = h − h(1 − 2 cot^2 α)/2 = h [1 − (1/2)(1 − 2 cot^2 α)] = h (1/2 + cot^2 α). Тогда R^2 = h^2 (1/2 + cot^2 α)^2, значит R = h (1/2 + cot^2 α). Отсюда выражение высоты: h = R / (1/2 + cot^2 α). Шаг 5. Приведение к более удобной форме cot^2 α = 1 / tan^2 α, поэтому h = R / (1/2 + 1/tan^2 α) = (2R tan^2 α) / (tan^2 α + 2). Также можно записать эквивалентно через синусы и косинусы: tan^2 α = sin^2 α / cos^2 α, поэтому h = (2R sin^2 α) / (1 + cos^2 α). Ответ: Высота пирамиды h = (2R tan^2 α) / (tan^2 α + 2), или эквивалентно h = R / (1/2 + cot^2 α), или h = (2R sin^2 α) / (1 + cos^2 α).