(1+tg²l)*cos²l+3

Цель: Понять

Разберем выражение: (1 + tg^2 l) · cos^2 l + 3, где tg — тангенс, l — угол.

Шаг 1. Перепишем через известные тригонометрические тождества

• Известно, что 1 + tan^2 l = sec^2 l.
• Также sec^2 l = 1 / cos^2 l.

Шаг 2. Применим тождество к нашему выражению (1 + tan^2 l) · cos^2 l = sec^2 l · cos^2 l = (1 / cos^2 l) · cos^2 l = 1, пока cos l ≠ 0 (то есть пока тангенс определен).

Тогда исходное выражение становится: (1 + tan^2 l) · cos^2 l + 3 = 1 + 3 = 4.

Шаг 3. Альтернативный путь (для понимания) Раскроем скобки: (1 + tan^2 l) · cos^2 l + 3 = cos^2 l + tan^2 l · cos^2 l + 3. Заметим, что tan^2 l · cos^2 l = sin^2 l (потому что tan^2 l = sin^2 l / cos^2 l, умножаем на cos^2 l — остается sin^2 l). Тогда получаем: cos^2 l + sin^2 l + 3 = 1 + 3 = 4.

Промежуточное замечание по домену

• Выражение определено только там, где cos l ≠ 0 (то есть l ≠ π/2 + kπ). В точках cos l = 0 тангенс не определен, следовательно исходное выражение не имеет значения в этих точках.
• В остальных точках результат равен 4.

Ответ: 4 (для всех допустимых значений l, т.е. при cos l ≠ 0).