Задача Задача №3559653
А
А
MNKL — квадрат со стороной 20 20 мм. Какие прямые являются секущими к окружности с центром N N и радиусом 14 14 мм?
Задача: квадрат MNKL со стороной 20 мм; окружность с центром в N и радиусом 14 мм. Какие прямые являются секущими к этой окружности?
Пояснение и решение
- Что такое секущая прямая
- Секущая прямая пересекает окружность в двух точках.
- Точка касания (тангенс) — в одной точке.
- Прямая вне окружности — в ноль точек.
- Геометрически важная характеристика: прямая секущая тогда, когда расстояние от центра окружности до этой прямой меньше радиуса. Здесь радиус r = 14 мм.
- Расстановка координат Упростим: положим N в начало координат.
- N = (0, 0)
- Так как MNKL — квадрат со стороной 20, можно выбрать:
- M = (20, 0)
- K = (0, 20)
- L = (20, 20)
Перечислим прямые, которые возникают естественно из квадрата:
- MN: линия y = 0
- NK: линия x = 0
- KL: линия y = 20
- LM: линия x = 20
- Диагонали: MK: x + y = 20, NL: y = x
- Расстояния от центра окружности до этих прямых Расстояние от точки (0,0) до прямой вида ax + by + c = 0 равно |c| / sqrt(a^2 + b^2) если прямая задана как ax + by + c = 0. Но удобнее считать расстояния геометрически:
- Прямая MN (y = 0): проходит через N, расстояние 0 мм. Так как 0 < 14, она секущая.
- Прямая NK (x = 0): проходит через N, расстояние 0 мм. 0 < 14, секущая.
- Прямая KL (y = 20): расстояние от N до этой прямой равно 20 мм. 20 > 14, не секущая.
- Прямая LM (x = 20): расстояние 20 мм. Не секущая.
- Диагональ MK (x + y = 20): расстояние от N до этой прямой равно |0 + 0 − 20| / sqrt(1^2 + 1^2) = 20 / sqrt(2) ≈ 14.14 мм. Это больше радиуса 14, значит не пересекает окружность — не секущая.
- Диагональ NL (y = x): прямая через N, расстояние 0 мм. 0 < 14, секущая.
- Вывод Среди прямых квадрата MNKL секущими к окружности являются:
- MN
- NK
- NL
Общие замечания:
- Любая прямая, проходящая через центр N, является секущей (пересекает окружность в двух точках).
- В этом конкретном расположении квадрата радиус 14 мм таков, что другие стороны и диагонали не пересекают окружность (например, KL и LM находятся на расстоянии 20 мм от N; MK — около 14.14 мм от N, чуть больше радиуса).
