Задача Задача №3560605
А
А
в окружности проведены диаметры ab и CD докажите что хорды ad bc параллельны
Задача: в окружности проведены диаметры AB и CD. Докажите, что хорды AD и BC параллельны.
Пусть O — центр окружности. Так как AB и CD — диаметры, то A и B противоположны, как и C и D (BO = OA и DO = OC по радиусам).
Дано: цель понять и доказать.
Спосаб 1. Координатное решение (пошагово)
- Примем радиус окружности за единичный и запишем углы:
- пусть угол OA относительно оси Ox равен α, тогда A = (cos α, sin α);
- противолежащая точка B = (-cos α, -sin α);
- пусть угол OC равен γ, тогда C = (cos γ, sin γ);
- D = (-cos γ, -sin γ).
- Найдём векторы направлений хорd AD и BC:
- AD = D − A = (-cos γ − cos α, −sin γ − sin α);
- BC = C − B = (cos γ + cos α, sin γ + sin α).
Заметим, что AD = −(cos γ + cos α, sin γ + sin α) = −BC.
Значит векторы AD и BC совпадают по направлению до умножения на −1, то есть они параллельны.
Итак, AD ∥ BC.
Кратко: вектор AD является противоположным вектору BC, поэтому хорды AD и BC параллельны независимо от выбора диаметров AB и CD.
Дополнительные замечания (по желанию)
- Можно также интерпретировать результат через углы: диаметр AB и диаметр CD задают симметричное расположение точек на окружности, из чего следует параллельность хорd AD и BC. Но координатный (векторный) подход даёт ясное и მკресткое доказательство.
