В окружности с центром О проведены диаметры AB и MN. Докажите, что хорды AM и BN параллельны.

Задача: в окружности с центром O проведены диаметры AB и MN. Докажите, что хорды AM и BN параллельны.

Подход 1. Синтетический (краткий, но наглядный)

1. Заметим, что AB и MN — это диаметры, значит A и B противоположны относительно O, как и M и N.
2. Выполним поворот на 180 градусов (полуоборот) вокруг центра O. Этот поворот отправляет A в B и M в N (поскольку A и B — antipодные точки, так же как M и N).
3. Поворот на 180° в целом переводит любую прямую в параллельную ей прямую (это свойство центральной симметрии: линия AM переходит в линию BN).
4. Значит прямая AM переходит в BN, следовательно AM ∥ BN.

Это и есть требуемое доказательство параллельности AM и BN.

Подход 2. Аналитический (пошагово, на случай, если нужен явный расчет)

1. Пусть радиус окружности равен 1, центр O — начало координат. Поставим: A = (−1, 0), B = (1, 0). Пусть другая диаметр MN имеет угол φ, тогда M = (cos φ, sin φ) и N = (−cos φ, −sin φ).
2. Наклон хорды AM: slope(AM) = (sin φ − 0) / (cos φ − (−1)) = sin φ / (cos φ + 1).
3. Наклон хорды BN: slope(BN) = (−sin φ − 0) / (−cos φ − 1) = (−sin φ) / (−(cos φ + 1)) = sin φ / (cos φ + 1).
4. Показатели наклонов совпадают, следовательно AM и BN параллельны.

Расшифровка: независимо от того, какой угол φ выберем (ось MN может находиться под любым углом к AB), наклон AM и BN совпадают, значит хорды AM и BN параллельны.

Итого: обе подхода приводят к одному и тому же выводу — хорды AM и BN параллельны.