{y2+x2=25 {x+y=54

Задача: x^2 + y^2 = 25 и x + y = 54.

Детальное решение:

1. Найдём произведение xy с помощью идентичности (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2.

• Считаем: (x + y)^2 = 54^2 = 2916.
• А также x^2 + y^2 = 25.
• Тогда 2916 = 25 + 2xy, следовательно 2xy = 2916 - 25 = 2891, и xy = 2891/2 = 1445.5.

2. Вводим систему как уравнение для корней t: t^2 - S t + P = 0, где S = x + y = 54, P = xy = 1445.5.

• Значит тождество: t^2 - 54t + 1445.5 = 0.

3. Проверим существование реальных корней (решений) через дискриминант D:

• D = (-54)^2 - 4·1·1445.5 = 2916 - 5782 = -2866.
• Дискриминант отрицательный, значит у этого квадратного уравнения нет вещественных корней.

Итог по реальным числам: решений в реальных числах нет (система несовместна в множестве вещественных чисел).

4. Если разрешены комплексные числа, найдём решения:

• Корни уравнения t будут t = [54 ± sqrt(-2866)]/2 = 27 ± (i/2) sqrt(2866).
• Значит x и y равны 27 ± i sqrt(2866)/2, в любом порядке (то есть одно значение — 27 + i√2866/2, другое — 27 - i√2866/2).

Проверка на комплексные решения: сумма x + y = 54 верна, и x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = 2916 - 2·1445.5 = 2916 - 2891 = 25, тоже верно.

Ответ:

• В вещественных числах решений нет.
• В комплексных числах пары (x, y) равны (27 + i√2866/2, 27 - i√2866/2) или наоборот.