Готовое решение с пояснениями
Даны:
- два одинаковых груза mass m = 0,5 кг, лежащих на неподвижном гладком клине уголом наклона θ = 30°;
- между ними пружина жесткостью k = 150 Н/м. В нерастянутом состоянии её длина L0 = 16 см; в движении длина пружины L = 20 см, т.е. удлинение ΔL = 0,04 м;
- верхний груз связан невесомой нитью с бруском массой M через идеальный блок (правая сторона система — подвесной груз).
Задача: найти M.
Шаг 1. Сила пружины
ΔL = 0,04 м, k = 150 Н/м → сила пружины F_s = k ΔL = 150 · 0,04 = 6 Н.
Направление: пружина тянет грузы друг к другу вдоль линии клина (верхний груз — вниз по склону, нижний груз — вверх по склону).
Шаг 2. Выбор осей и направлений
- Пусть positive направлено вверх по склону внутри обоих грузов (для верхнего и нижнего). Для подвесного блока движение вниз по вертикали согласуем с положительным направлением в задаче ниже.
- Общее ускорение по склону для обоих грузов m будет одинаковым по условию постоянной длины пружины (они движутся как единое звено вдоль клина). Обозначим его a. Для подвесного бруска ускорение по вертикали равно a по величине (направление: вниз — положительно).
Шаг 3. Уравнения для масс на склоне
Для верхнего груза m:
- силы вдоль склона: T вверх по склону, m g sinθ вниз по склону, F_s вниз по склону.
- уравнение: m a = T − m g sinθ − F_s. (1)
Для нижнего груза m:
- силы вдоль склона: F_s вверх по склону, m g sinθ вниз по склону.
- уравнение: m a = F_s − m g sinθ. (2)
Для подвесного бруска M:
- движение вдоль вертикали вниз положительно.
- уравнение: M a = M g − T. (3)
Спасибо условию, что длина пружины постоянна, F_s остается равной 6 Н.
Шаг 4. Найдем ускорение a и натяжение T
Из уравнения (2):
a = (F_s − m g sinθ) / m.
Подстановка чисел:
m = 0,5 кг, g ≈ 9,8 м/с², sinθ = sin(30°) = 0,5.
m g sinθ = 0,5 · 9,8 · 0,5 = 2,45 Н.
F_s = 6 Н.
a = (6 − 2,45) / 0,5 = 3,55 / 0,5 = 7,1 м/с².
Из уравнения (1) найдем T:
T = m a + m g sinθ + F_s
= 0,5 · 7,1 + 2,45 + 6
= 3,55 + 2,45 + 6
= 12,0 Н.
Шаг 5. Найдем массу M по уравнению (3)
Из (3): M g − T = M a → M (g − a) = T → M = T / (g − a).
Значения: g − a = 9,8 − 7,1 = 2,7 м/с², T = 12 Н.
M = 12 / 2,7 ≈ 4,44 кг.
Ответ: M ≈ 4,4 кг (при достаточной точности можно указать 4,44 кг).
Проверка на читабельность и единообразие сил
- Границы ускорения одинаковы для двух грузов на inclined plane и для hanging block по условию связи нити и идеального блока.
- Пружина обладает постоянной силой F_s = 6 Н, так как ΔL зафиксировано и равно 0,04 м.
- Площадки без трения: нормальные силы на клин не влияют на движение вдоль клина; силу тяжести следует разложить на компонент вдоль клина: m g sinθ = 2,45 Н.
- Уравнения состоят из законов Ньютона для каждого тела, с учетом константной длины пружины и идеальности механики (малая масса нити, идеальный блок, гладкий клин).
Рисунок сил (описание для рисунка)
- Верхний груз на клине: силы — сила тяжести mg, компонент вдоль клина m g sinθ (направлен вниз по клину), сила натяжения T вверх по клину, сила пружины F_s вниз по клину.
- Нижний груз на клине: силы — сила тяжести mg, компонент вдоль клина m g sinθ (направлен вниз по клину), сила пружины F_s вверх по клину.
- Брусок M: силы — тяжесть M g вниз, натяжение T вверх (по той же нити, что и верхний груз).
Обоснование применимости законов
- Плоскость считается гладкой, значит трения нет; следовательно, движения вдоль клина описываются только компонентами сил вдоль направления движения.
- Пружина массless и имеет постоянную длину во время движения, поэтому F_s можно взять как константу kΔL.
- Нить через идеальный блок: нить одинакового натяжения по обеим сторонам, следовательно T одинаков для верхнего груза и подвесного бруска.
- Сама зависимость между ускорениями обеспечивается узлом нити: изменение положения верхнего груза вдоль клина на Δx вызывает изменение высоты подвесного блока на Δx и т.д., поэтому ускорения по модулю равны: a_top = a_hanging = a. В условиях задачи это согласуется с данными.
Итог
- М ≈ 4,44 кг.
- Дополнительные проверки показывают, что при таких параметрах ускорение a = 7,1 м/с², натяжение T = 12 Н, что согласуется во всех уравнениях.
