Два одинаковых груза массой 0,5 кг каждый, скрепленные между собой легкой пружиной с жесткостью 150 Н/м, движутся по неподвижному гладкому клину с углом наклона 30 . Верхний груз…

Готовое решение с пояснениями

Даны:

• два одинаковых груза mass m = 0,5 кг, лежащих на неподвижном гладком клине уголом наклона θ = 30°;
• между ними пружина жесткостью k = 150 Н/м. В нерастянутом состоянии её длина L0 = 16 см; в движении длина пружины L = 20 см, т.е. удлинение ΔL = 0,04 м;
• верхний груз связан невесомой нитью с бруском массой M через идеальный блок (правая сторона система — подвесной груз).

Задача: найти M.

Шаг 1. Сила пружины ΔL = 0,04 м, k = 150 Н/м → сила пружины F_s = k ΔL = 150 · 0,04 = 6 Н. Направление: пружина тянет грузы друг к другу вдоль линии клина (верхний груз — вниз по склону, нижний груз — вверх по склону).

Шаг 2. Выбор осей и направлений

• Пусть positive направлено вверх по склону внутри обоих грузов (для верхнего и нижнего). Для подвесного блока движение вниз по вертикали согласуем с положительным направлением в задаче ниже.
• Общее ускорение по склону для обоих грузов m будет одинаковым по условию постоянной длины пружины (они движутся как единое звено вдоль клина). Обозначим его a. Для подвесного бруска ускорение по вертикали равно a по величине (направление: вниз — положительно).

Шаг 3. Уравнения для масс на склоне Для верхнего груза m:

• силы вдоль склона: T вверх по склону, m g sinθ вниз по склону, F_s вниз по склону.
• уравнение: m a = T − m g sinθ − F_s. (1)

Для нижнего груза m:

• силы вдоль склона: F_s вверх по склону, m g sinθ вниз по склону.
• уравнение: m a = F_s − m g sinθ. (2)

Для подвесного бруска M:

• движение вдоль вертикали вниз положительно.
• уравнение: M a = M g − T. (3)

Спасибо условию, что длина пружины постоянна, F_s остается равной 6 Н.

Шаг 4. Найдем ускорение a и натяжение T Из уравнения (2): a = (F_s − m g sinθ) / m.

Подстановка чисел: m = 0,5 кг, g ≈ 9,8 м/с², sinθ = sin(30°) = 0,5. m g sinθ = 0,5 · 9,8 · 0,5 = 2,45 Н. F_s = 6 Н.

a = (6 − 2,45) / 0,5 = 3,55 / 0,5 = 7,1 м/с².

Из уравнения (1) найдем T: T = m a + m g sinθ + F_s = 0,5 · 7,1 + 2,45 + 6 = 3,55 + 2,45 + 6 = 12,0 Н.

Шаг 5. Найдем массу M по уравнению (3) Из (3): M g − T = M a → M (g − a) = T → M = T / (g − a).

Значения: g − a = 9,8 − 7,1 = 2,7 м/с², T = 12 Н.

M = 12 / 2,7 ≈ 4,44 кг.

Ответ: M ≈ 4,4 кг (при достаточной точности можно указать 4,44 кг).

Проверка на читабельность и единообразие сил

• Границы ускорения одинаковы для двух грузов на inclined plane и для hanging block по условию связи нити и идеального блока.
• Пружина обладает постоянной силой F_s = 6 Н, так как ΔL зафиксировано и равно 0,04 м.
• Площадки без трения: нормальные силы на клин не влияют на движение вдоль клина; силу тяжести следует разложить на компонент вдоль клина: m g sinθ = 2,45 Н.
• Уравнения состоят из законов Ньютона для каждого тела, с учетом константной длины пружины и идеальности механики (малая масса нити, идеальный блок, гладкий клин).

Рисунок сил (описание для рисунка)

• Верхний груз на клине: силы — сила тяжести mg, компонент вдоль клина m g sinθ (направлен вниз по клину), сила натяжения T вверх по клину, сила пружины F_s вниз по клину.
• Нижний груз на клине: силы — сила тяжести mg, компонент вдоль клина m g sinθ (направлен вниз по клину), сила пружины F_s вверх по клину.
• Брусок M: силы — тяжесть M g вниз, натяжение T вверх (по той же нити, что и верхний груз).

Обоснование применимости законов

• Плоскость считается гладкой, значит трения нет; следовательно, движения вдоль клина описываются только компонентами сил вдоль направления движения.
• Пружина массless и имеет постоянную длину во время движения, поэтому F_s можно взять как константу kΔL.
• Нить через идеальный блок: нить одинакового натяжения по обеим сторонам, следовательно T одинаков для верхнего груза и подвесного бруска.
• Сама зависимость между ускорениями обеспечивается узлом нити: изменение положения верхнего груза вдоль клина на Δx вызывает изменение высоты подвесного блока на Δx и т.д., поэтому ускорения по модулю равны: a_top = a_hanging = a. В условиях задачи это согласуется с данными.

Итог

• М ≈ 4,44 кг.
• Дополнительные проверки показывают, что при таких параметрах ускорение a = 7,1 м/с², натяжение T = 12 Н, что согласуется во всех уравнениях.