Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или пять камней или увеличить количество камней в куче в три раза. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16, 20 или 45 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 41.
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 41 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней; 1 S 40.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может
встретиться при различной игре противника.
Найдите два таких значенияS, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
Петя не может выиграть за один ход;
Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания без разделительных знаков.
Классно, давай разберёмся вместе и разложим по полочкам. Тебе дали задачу про Петю и Ваню, где за один ход можно: +1, +5 или умножить кучку камней на 3. Игра заканчивается, когда в куче 41 и более камней; победа — у того, кто сделал последний ход. Начальное S от 1 до 40.
Твой ответ: 4
Правильный ответ: 812 (то есть S = 8 и S = 12)
Разберём по шагам, чтобы понять, почему.
1) Именно что значит выигрышная стратегия в этой задаче
- Если стартовая куча позволяет победить Петю за один ход, это простой случай: S ≥ 14 дает выигрыш в один ход (потому что 3·S ≥ 41). Также S ≥ 36 или S ≥ 40 можно выиграть ходами +5 или +1, но объединение даёт S ≥ 14 как условие единым способом.
- Нам же нужно два значения S, при которых:
- Петя не может выиграть в первый ход.
- Но может выиграть на втором ходу независимо от того, как будет ходить Ваня.
2) Как формулируется условие выигрышной стратегии для второго хода
После первого хода Пети пусть куча стала x1. Тогда Ваня сделает один из трёх ходов и получит y ∈ {x1 + 1, x1 + 5, 3x1} (при этом y должно быть < 41, иначе Ваня выиграет сразу).
Чтобы Петя выиграл на втором ходу независимо от хода Вани, от каждого такого y должна быть возможность сделать ход и достичь ≥ 41 за один ход. Это значит, что для каждого y из множества
{ x1 + 1, x1 + 5, 3x1 }
у Пети должен быть ход, приводящий к выигрышу. Так как выигрыш возможен только через умножение на 3 или прибавление, условие эквивалентно тому, что y ≥ 14 (поскольку если y ≥ 14, то ход ×3 даст ≥ 41).
Но у нас есть ещё одно ограничение: если x1 слишком велик, то один из ходов Вани может привести к y ≥ 41, и Ваня выиграет уже на своей первой реакции — это нам не подходит. Поэтому нам нужно, чтобы и x1 + 1 < 41, и 3x1 < 41, иначе Ваня мог бы выйти в победу до второго хода Пети. Это даёт:
- 3x1 < 41 → x1 ≤ 13
- x1 + 1 < 41 автоматически выполняется для any x1 ≤ 39, здесь это не проблемно.
Из условия о гарантированном втором ходе получаем ещё одно: чтобы каждый y ≥ 14, достаточно чтобы минимальный из { x1+1, x1+5, 3x1 } был не менее 14. Минимум здесь обычно x1 + 1, поэтому нужно x1 + 1 ≥ 14 → x1 ≥ 13.
combine: x1 must быть ровно 13.
3) Какие S дают x1 = 13 на первом ходу
Пусть Петя первым ходом довёл до x1 = 13. Какие S это позволяет?
- S + 1 = 13 → S = 12
- S + 5 = 13 → S = 8
- 3S = 13 не целое, значит не подходит.
Итого S ∈ {8, 12}.
4) Проверка для этих S
- Начало S = 8: первый ход Петя может сделать +5, чтобы получить 13. Затем Ваня может сделать 14, 18 или 39. Во всех случаях Петя может взять ×3 и получить 42, 54 и т.д., и выиграть на втором ходу.
- Начало S = 12: первый ход Петя может сделать +1, чтобы получить 13. Аналогично Ваня ответит 14, 18 или 39, а Петя снова выиграет на втором ходе тройкой.
Таким образом, S = 8 и S = 12 удовлетворяют условию задачи. Ответ записывается подряд без разделителей в порядке возрастания: 812.
Чего не хватает в твоём ответе 4?
- При S = 4 Петя не может выиграть в один ход, и нет такой первого хода, после которого независимо от хода Вани можно было бы гарантированно выиграть на втором ходу. Приведу контрпример: если Петя делает первый ход к 12 (например, 4 + 8 не разрешено), такого хода нет; а если пытаться какое-то другое развитие, Ваня может выбрать ход, после которого у Пети не останется гарантированного выигрышного хода на следующем ходу. По сути, S = 4 не обеспечивает второй ход победы в любых ответах Вани.
Итог: твой ответ 4 неверен. Правильный ответ — 812.
Пожалуйста, оцените мой ответ лайком или дизлайком.
