один катет прямоугольного треугольника на 7см больше другого а периметр треугольника равен 30см найдите все стороны треугольника
Задача: один катет прямоугольного треугольника на 7 см больше другого, периметр равен 30 см. Найдём все стороны.
Обозначим катеты как a и b, где b = a + 7. Гипотенуза c = sqrt(a^2 + b^2).
Периметр равен P = a + b + c = 30. Подставим b: a + (a + 7) + sqrt(a^2 + (a + 7)^2) = 30 2a + 7 + sqrt(2a^2 + 14a + 49) = 30
Изолируем квадратный корень: sqrt(2a^2 + 14a + 49) = 23 − 2a. Чтобы это имело смысл, правая часть не может быть отрицательной: 23 − 2a ≥ 0 ⇒ a ≤ 11.5.
Возведём обе стороны в квадрат: 2a^2 + 14a + 49 = (23 − 2a)^2 = 529 − 92a + 4a^2.
Перенесём всё в одну сторону: 0 = 529 − 92a + 4a^2 − 2a^2 − 14a − 49 0 = 2a^2 − 106a + 480. Делим на 2: a^2 − 53a + 240 = 0.
Найдём корни квадратного уравнения: D = 53^2 − 4·240 = 2809 − 960 = 1849 = 43^2. a = (53 ± 43) / 2 ⇒ a = 48 или a = 5.
Проверим подходящий корень. Так как a ≤ 11.5, годится только a = 5. Тогда b = a + 7 = 12. Гипотенуза c = sqrt(5^2 + 12^2) = sqrt(25 + 144) = sqrt(169) = 13.
Проверка периметра: 5 + 12 + 13 = 30 — верно.
Ответ: стороны треугольника равны 5 см, 12 см, 13 см. Это классический прямоугольный треугольник 5–12–13.
