У={3х²+6х+4,если 0≤х≤2 . {4/х,если 2<х≤4

Задача дана как несложенное разбиение по x:

У(x) = { 3x^2 + 6x + 4, если 0 ≤ x ≤ 2; 4/x, если 2 < x ≤ 4 }.

Цель: понять поведение функции на заданном промежутке, найти область определения, диапазон значений и особенности перехода в точке x = 2.

1. Область определения

• Первая часть определена на [0, 2].
• Вторая часть определена на (2, 4].
• Объединение даёт D = [0, 4].

2. Значения на концах и в разбивке

• При x = 0: y = 3·0^2 + 6·0 + 4 = 4.
• При x = 2: y = 3·(2)^2 + 6·2 + 4 = 12 + 12 + 4 = 28.
• При x = 4: y = 4/4 = 1.

3. Анализ каждой части

• Первая часть f1(x) = 3x^2 + 6x + 4 на [0, 2]:

  • Производная f1'(x) = 6x + 6 > 0 для x ≥ 0, значит функция возрастает на [0, 2].
  • Значения: от f1(0) = 4 до f1(2) = 28.
  • Следовательно, диапазон этой части: [4, 28].

• Вторая часть f2(x) = 4/x на (2, 4]:

  • Производная f2'(x) = -4/x^2 < 0 для x > 0, значит функция убывающая на (2, 4].
  • При x → 2+ значения стремятся к 4/2 = 2 (но 2 не достигается, так как x ≈ 2 не входит в интервал).
  • При x = 4 значение равно 1.
  • Следовательно, диапазон этой части: [1, 2).

4. Сводная таблица диапазонов

• Диапазон первой части: [4, 28].
• Диапазон второй части: [1, 2).
• Объединение диапазонов всей функции: [1, 2) ∪ [4, 28].

5. Особенности точки разрыва x = 2

• Значение функции в x = 2 определяется первой частью: U(2) = 28.
• Правосторонний предел: lim_{x→2+} 4/x = 2.
• Левосторонний предел: lim_{x→2-} (3x^2 + 6x + 4) = 28.
• Следовательно, разрыв типа скачкообразный: слева значение равно 28, справа стремится к 2, сами значения на правой части ближе к 2, но никогда не достигают 2.

6. Коротко о максимуме/минимуме на всём промежутке

• Глобальный максимум функции на [0,4] достигается на x = 2 и равен 28.
• Глобальный минимум достигается на x = 4 и равен 1.
• В целом диапазон значений: [1, 2) ∪ [4, 28].

Если хочешь, могу привести график или проверить конкретное значение в заданном x, например для x = 1, x = 3 и т.д.