Двухпроводная линия электропередачи соединяет подстанцию с потребителем. Постоянное напряжение на выходе подстанции U = 110 кВ, внутреннее сопротивление подстанции г = 80 Ом, электрическое сопротивление потребителя R = 70 Ом. ЛЭП выполнена из алюминиевого провода, удельное сопротивление которого р = 2,5 · 106 Ом - см, а площадь поперечного сечения S = 240 мм2. Известно, что мощность потерь в ЛЭП составляет P = 1,5 МВт. Определите сопротивление ЛЭП и её длину.

Ниже подробное решение задачи с объяснениями и проверками. Я сделаю предположение по одному моменту, которое обычно учитывают в таких задачах. Важно про Resistivity - В задаче дано p = 2,5 · 10^6 Ом·см. Очевидно, здесь допущена ошибка в единицах: для алюминия характерное удельное сопротивление составляет около 2,5 · 10^-6 Ом·см, что эквивалентно 2,5 · 10^-8 Ом·м. Я возьму именно ρ = 2,5 · 10^-8 Ом·м (и отмечу альтернативу, если воспринять ρ как дано в задаче без конвертации). Данные задачи - Напряжение на выходе подстанции: U = 110 кВ = 1,10 · 10^5 В - Внутреннее сопротивление подстанции: g = 80 Ω - Сопротивление потребителя: R = 70 Ω - Провод: алюминиевый, ρ = 2,5 · 10^-8 Ω·м, площадь поперечного сечения S = 240 мм^2 = 2,4 · 10^-4 м^2 - Мощность потерь в ЛЭП: P = 1,5 МВт = 1,5 · 10^6 Вт - ЛЭП двухпроводная: сопротивление всей линии учитывается как суммарное сопротивление обоих проводников. Модель - Схема: источник с эмфирой U и суммарным сопротивлением g, линейная нагрузка (потребитель) R и сопротивление самой линии R_line_total. Ток I течёт по цепи: I = U / (g + R + R_line_total). - Потери в ЛЭП: P = I^2 · R_line_total. - Так как линия двухпроводная, суммарное сопротивление линии равно: R_line_total = 2 ρ L / A, где A = S и ρ — удельное сопротивление материала проводов (для двух проводов в цепи суммарное сопротивление считается как два параллельно? Нет: ток идёт по цепи через один провод вперёд и обратно через другой, поэтому суммарное сопротивление цепи линии равно 2 ρ L / A). Обозначим R_line как общее сопротивление всей ЛЭП (за вычетом внутреннего сопротивления и нагрузки). Тогда: - I = U / (g + R + R_line) - P = I^2 · R_line - R_line = 2 ρ L / A Решение по переменным 1) Запишем из условия потерь: I^2 = P / R_line. 2) Запишем закон Ома для всей цепи: I = U / (g + R + R_line). 3) Совмещаем: (U / (g + R + R_line))^2 = P / R_line. 4) Перепишем в виде квадратного уравнения для sqrt(R_line). (g + R + R_line)^2 = (U^2 R_line) / P. Обозначим x = sqrt(R_line) > 0. Тогда R_line = x^2 и уравнение принимает вид: (g + R + x^2) = (U / sqrt(P)) · x. Приведём к квадр. уравнению: x^2 − (U / sqrt(P)) x + (g + R) = 0. 5) Подставим числа. - U = 1.10 × 10^5 В, P = 1.50 × 10^6 Вт. - sqrt(P) = sqrt(1.50 × 10^6) ≈ 1.2247 × 10^3. - U / sqrt(P) ≈ 1.10 × 10^5 / 1.2247 × 10^3 ≈ 89.8 (округленно). - g + R = 80 + 70 = 150 Ω. Уравнение: x^2 − 89.8 x + 150 = 0. 6) Найдём корни: - Дискриминант Δ = 89.8^2 − 4·150 ≈ 8064 − 600 ≈ 7464. - √Δ ≈ 86.4. - x1 = (89.8 + 86.4)/2 ≈ 88.1 - x2 = (89.8 − 86.4)/2 ≈ 1.7 7) Возьмём соответствующие значения R_line = x^2: - Р1: R_line ≈ 88.1^2 ≈ 7,760 Ω - Р2: R_line ≈ 1.7^2 ≈ 2.9 Ω Практическая физическая интерпретация - Вторая пара чисел (R_line ≈ 2.9 Ω) соответствует разумной длине линии. Первая пара даёт крайне большое сопротивление линии, что приводило бы к длине линии порядка десятков тысяч или сотен тысяч километров (для двухпроводной линии с данными параметрами это непрактично). Поэтому принимаем физически разумный вариант: - R_line ≈ 2.9 Ω (суммарное сопротивление всей ЛЭП). Длина ЛЭП - Для двухпроводной линии суммарное сопротивление R_line_total = 2 ρ L / A. - Тогда L = R_line_total · A / (2 ρ). Подставим значения: - ρ = 2.5 × 10^-8 Ω·м - A = 2.4 × 10^-4 м^2 - R_line_total ≈ 2.9 Ω L ≈ (2.9 · 2.4 × 10^-4) / (2 · 2.5 × 10^-8) ≈ (6.96 × 10^-4) / (5 × 10^-8) ≈ 1.39 × 10^4 м ≈ 13.9 км. Дополнительная проверка (проверочный расчёт) - Ток по цепи: I = U / (g + R + R_line) ≈ 110000 / (80 + 70 + 2.9) ≈ 110000 / 152.9 ≈ 719 А. - Потери в ЛЭП: P = I^2 · R_line ≈ (719)^2 · 2.9 ≈ 1.50 × 10^6 Вт, что согласуется с данными задачи. - Напряжение на потребителя: V_load ≈ I · R ≈ 719 · 70 ≈ 50 330 В, но полное распределение в цепи даёт общую схему с U ≈ 110 кВ; при учёте г and прочего значения выходное напряжение на потребителе будет соответствовать нагрузке (для упрощения можно считать, что набор данных собран так, чтобы расчет удовлетворял U при полной конфигурации). Итого - Сопротивление ЛЭП (весь участок, с учётом двух проводников) R_line ≈ 2.9 Ω. - Длина ЛЭП ≈ 13.9 км. Замечание по входным данным - Я принял ρ = 2,5 × 10^-8 Ω·м (то есть 2,5 × 10^-6 Ω·см), что является корректной величиной для алюминия. Если же трактовать данное p как 2,5 × 10^6 Ω·см без конвертации, получатся физически нереалистичные значения длины линии (и, как следствие, противоречие в условиях). В заданиях обычно предполагают именно ρ ≈ 2.5×10^-8 Ω·м. Если хотите, могу привести альтернативный разбор с учётом другого варианта трактовки ρ и показать влияние на ответ.