Говорят, что отрезок `AB` виден из точки `F` под углом $$\varphi$$, если $$\angle AFB=\varphi$$. Рассмотрим окружность $$\Omega$$ с диаметром `AB`. Докажите, что из любой точки окружности $$\Omega$$, отличной от `A` и `B`, отрезок `AB` виден под углом $$90^\circ$$. б) Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Задача дана для общей геометрии, без указания конкретного предмета и класса. Ниже — подробное решение в пошаговом виде (приближено к школьной геометрии). Задача: Omega — окружность с диаметром AB. Докажите, что из любой точки X окружности Omega, отличной от A и B, отрезок AB виден под углом 90°. b) Сформулируйте и докажите обратное утверждение. Часть а): доказательство, что ∠AXB = 90° для любой X на Omega, X ≠ A, B 1) Пусть O — центр окружности Omega (точка середины отрезка AB, так как AB — его диаметр). Тогда OA = OB = OX — радиусы окружности. 2) Угловой центральный угол AOB, соприкасающийся с дугой AB, равен 180°. Это следует из того, что AB — диаметр окружности. 3) Применим теорему о вписанном угле: угол AXB, который окружность Omega «видит» дугу AB, равен половине модуля центрального угла, intercepting дугу AB. То есть ∠AXB = 1/2 ∠AOB = 1/2 · 180° = 90°. 4) Следовательно, из любой точки X на Omega, кроме A и B, отрезок AB виден под углом 90°. Это именно требуемое утверждение. Замечание: здесь используется стандартная теорема о вписанном угле (или следствие Теоремы о угле в полукруге, т. е. теорема Фалеса). Часть b): обратное утверждение (формулировка и доказательство) Обратное утверждение: Пусть точка X такая, что ∠AXB = 90°. Тогда X лежит на окружности с диаметром AB (то есть на той же окружности Omega). Доказательство: 1) Пусть в треугольнике AXB угол при вершине X равен 90°. Тогда треугольник AXB — прямоугольный, гипотенуза которого — отрезок AB. 2) Свойство окружности: в любом прямоугольном треугольнике ABC её околоописанная окружность имеет центром в середине гипотенузы и радиусом равным половине гипотенузы. То есть центр окружности проходит через все три вершины A, B, X, а радиус равен AB/2. 3) Следовательно, существует круг с центром в середине AB и радиусом AB/2, который проходит через A, через B и через X. Этот круг именно и есть окружность с диаметром AB. 4) Таким образом, точка X лежит на окружности с диаметром AB. Это и есть формулировка обратного утверждения. Дополнительный вариант (координатный) для иллюстрации (необязательный): - Пусть A = (-1, 0), B = (1, 0). Окружность Omega имеет центр O = (0, 0) и радиус 1. - Любая точка X на Omega задаётся X = (cos t, sin t). - Векторы XA = A − X = (-1 − cos t, -sin t), XB = B − X = (1 − cos t, -sin t). - Их скалярное произведение: XA · XB = (-1 − cos t)(1 − cos t) + (-sin t)(-sin t) = 0. - Значит угол AXB равен 90°, что подтверждает ту же идею. (Это дополнительное доказательство через координаты.) Итого: - Часть а) из любой точки X на окружности с диаметром AB угол AXB равен 90° (теорема о вписанном угле/Талесова теорема). - Часть b) обратное утверждение: если ∠AXB = 90°, то X лежит на окружности с диаметром AB (центр — середина AB; окружность радиуса AB/2). Это следует из свойства описанной окружности прямоугольного треугольника.