Log1/4 64

Задача: log_{1/4} 64 Цель: Понять (детальное решение) План решения (2 подхода): 1) Прямой подход через равенство степеней - Пусть x = log_{1/4} 64. Тогда (1/4)^x = 64. - Заметим, что 1/4 = 4^{-1}, поэтому (1/4)^x = (4^{-1})^x = 4^{-x}. - Также 64 = 4^3, потому 4^{-x} = 4^3. - Следовательно -x = 3, значит x = -3. - Ответ: log_{1/4} 64 = -3. 2) Подход через смену основания (change of base) - Используем базовую формулу: log_{a} b = log_{c} b / log_{c} a. - Возьмём c = 4. Тогда: log_{1/4} 64 = log_{4} 64 / log_{4} (1/4). - Теперь log_{4} 64 = 3, потому что 64 = 4^3. - И log_{4} (1/4) = log_{4} (4^{-1}) = -1. - Значит log_{1/4} 64 = 3 / (-1) = -3. - Ответ: -3. Пояснения и проверка - Основание 1/4 удовлетворяет условиям: >0 и не равно 1, аргумент 64 > 0, поэтому логарифм определён. - Можно проверить простым подстановочным подсчётом: (1/4)^{-3} = 4^{3} = 64, что соответствует искомому логарифму. Итого: ответ -3.