log1/4 64

Задача: log_{1/4} 64

Цель: Понять (детальное решение)

План решения (2 подхода):

1. Прямой подход через равенство степеней

• Пусть x = log_{1/4} 64. Тогда (1/4)^x = 64.
• Заметим, что 1/4 = 4^{-1}, поэтому (1/4)^x = (4^{-1})^x = 4^{-x}.
• Также 64 = 4^3, потому 4^{-x} = 4^3.
• Следовательно -x = 3, значит x = -3.
• Ответ: log_{1/4} 64 = -3.

2. Подход через смену основания (change of base)

• Используем базовую формулу: log_{a} b = log_{c} b / log_{c} a.
• Возьмём c = 4. Тогда: log_{1/4} 64 = log_{4} 64 / log_{4} (1/4).
• Теперь log_{4} 64 = 3, потому что 64 = 4^3.
• И log_{4} (1/4) = log_{4} (4^{-1}) = -1.
• Значит log_{1/4} 64 = 3 / (-1) = -3.
• Ответ: -3.

Пояснения и проверка

• Основание 1/4 удовлетворяет условиям: >0 и не равно 1, аргумент 64 > 0, поэтому логарифм определён.
• Можно проверить простым подстановочным подсчётом: (1/4)^{-3} = 4^{3} = 64, что соответствует искомому логарифму.

Итого: ответ -3.