Пусть ABC — тупоугольный треугольник, H — ортоцентр (точка пересечения высот). Обозначим R — радиус описанной вокруг ABC окружности (радиус окружности, проходящей через все три вершины A, B, C).
Задача говорит: радиус окружности, проходящей через H и две вершины (например A и B), равен R. Докажем для пары AB; аналогично верно и для других пар вершин.
Шаг 1. Радиус окружности треугольника ABH.
Для треугольника ABH радиус описанной вокруг него окружности равен
R_ABH = AB / (2 sin ∠AHB).
Шаг 2. Определение угла ∠AHB.
Высоты AH и BH перпендикулярны BC и AC соответственно. Следовательно, угол между AH и BH равен углу между BC и AC, то есть ∠C. Однако угол ∠AHB в треугольнике ABH является supplement аркадного угла между AH и BH, поэтому
∠AHB = 180° − ∠C.
Тогда sin ∠AHB = sin ∠C.
Шаг 3. Связь с радиусом описанной окружности ABC.
По теореме синусов в треугольнике ABC имеем
AB / sin ∠C = 2R,
то есть AB = 2R sin ∠C.
Подставим в формулу для R_ABH:
R_ABH = AB / (2 sin ∠AHB) = AB / (2 sin ∠C) = [2R sin ∠C] / (2 sin ∠C) = R.
Следовательно, радиус окружности, проходящей через A, B и H, равен радиусу описанной окружности ABC.
Шаг 4. Общий вывод.
То же доказательство работает и для других пар вершин (например, через B и C, или через C и A) с использованием соответствующих углов ∠BHC = 180° − ∠A и ∠CHA = 180° − ∠B. В любом случае получаем R_ABH = R_BCH = R_CAH = R.
Итак, радиус описанной окружности тупоугольного треугольника ABC равен радиусу окружности, проходящей через точку пересечения продолжения его высот и любые две вершины.
