Матеріальна точка рухається прямолінійно. Рівняння руху має вигляд: х = At+ Bt³, де А=3 м/с; В= 0,06 м/с³. Знайти швидкість і прискорення точки в моменти часу t1=0 і t2=3 с. Чому…
Матеріальна точка рухається прямолінійно. Рівняння руху має вигляд: х = At+ Bt³, де А=3 м/с; В= 0,06 м/с³. Знайти швидкість і прискорення точки в моменти часу t1=0 і t2=3 с. Чому дорівнюють середні значення швидкості і прискорення за перші три секунди руху?..
Коротко: маємо x(t) = A t + B t^3, A = 3 м/с, B = 0.06 м/с^3.
- Швидкість v(t) та прискорення a(t)
Швидкість: v(t) = dx/dt = A + 3 B t^2. v(t) = 3 + 3 · 0.06 · t^2 = 3 + 0.18 t^2.
Прискорення: a(t) = dv/dt = 6 B t. a(t) = 6 · 0.06 · t = 0.36 t.
- Значення в моменти t1 = 0 с та t2 = 3 с
v(0) = 3 + 0.18 · 0^2 = 3 м/с.
v(3) = 3 + 0.18 · 3^2 = 3 + 0.18 · 9 = 3 + 1.62 = 4.62 м/с.
a(0) = 0.36 · 0 = 0 м/с^2.
a(3) = 0.36 · 3 = 1.08 м/с^2.
- Середні значення за перші три секунди руху За перші 3 с руху від 0 до 3, середнє значення зазвичай шукають двома шляхами: через зміни x (простий способ) або через зміни v.
Переміщення за 0…3 с: x(3) = A·3 + B·3^3 = 3·3 + 0.06·27 = 9 + 1.62 = 10.62 м. x(0) = 0. Δx = x(3) − x(0) = 10.62 м.
Середня швидкість за 0…3 с: v_avg = Δx / Δt = 10.62 м / 3 с = 3.54 м/с.
Середнє прискорення за 0…3 с: a_avg = (v(3) − v(0)) / (3 − 0) = (4.62 − 3) / 3 = 1.62 / 3 = 0.54 м/с^2.
Альтернативний шлях до a_avg: з інтегрування a(t) = 0.36 t по 0…3 дає: ∫0^3 a dt = ∫0^3 0.36 t dt = 0.18 t^2 |_0^3 = 0.18·9 = 1.62 м/с. Поділивши на 3 с отримуємо 0.54 м/с^2, ті самі значения.
Підсумок:
- Швидкість: v(0) = 3 м/с; v(3) = 4.62 м/с.
- Прискорення: a(0) = 0 м/с^2; a(3) = 1.08 м/с^2.
- Середні за перші 3 с: середня швидкість 3.54 м/с; середнє прискорення 0.54 м/с^2.
